COMBINATORIA 4º ESO – CURSO 16-17

COMBINATORIA La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número

Introducción. Factorial de un Nº 1! = 1 2! = 2·1 3! = 3·2·1 4! = 4·3·2·1 5! = 5·4·3·2·1 … n! = n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1 Cuidado  0! = 1 El número n·(n−1)·(n−2)·…·3·2·1 se llama factorial de n, y se representa por n!, donde n es un número natural.

Introducción. Factorial de un Nº Ahora toca practicar… OPERACIONES CON FACTORIALES 3! + 2! = 4! – 2! = 3! · 0! = 5! 3! 8! 3! · 4! = 8 22 6 20 280

Introducción. Números combinatorios Dados dos números naturales m y n tales que m ≥ n, se define el número combinatorio , que se lee m sobre n, como: Veamos un ejemplo:

Introducción. Números combinatorios Ahora toca practicar… NÚMEROS COMBINATORIOS 7 3 = 35 = 126 = 15 9 4 6 4

Aplicaciones. Triángulo de Pascal El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico.

Aplicaciones. Binomio de Newton Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Pero… ¿Cómo calcularías: (a + b)3 ? La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton. Los coeficientes son los números combinatorios que corresponden a la fila “n” del triángulo de Pascal.

COMBINACIONES ¿Influye el orden de colocación? NO 𝐶 5, 3 = 5 3 = 5! 3! 5−3 ! =10

COMBINACIONES de m elementos tomados de n en n ¿Influye el orden de colocación? NO 𝐶 𝑚, 𝑛 = 𝑚! 𝑛! 𝑚−𝑛 !

PERMUTACIONES Cuántos números distintos de tres cifras puedo formar con ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? NO 𝑃 3 =3!=6

PERMUTACIONES de n elementos ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? NO 𝑷 𝒏 =𝒏!

VARIACIONES ¿Cuántas señales distintas puedo hacer con 2 banderas de las 4 disponibles? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? NO 𝑉 4, 2 = 4! 4−2 ! =12

VARIACIONES de m elementos, tomados de n en n ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? NO 𝑽 𝒎, 𝒏 = 𝒎! 𝒎−𝒏 !

Sin repetición

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN ¿Cuántos números distintos puedo formar con estas tres bolas? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? SI, pero siempre de la misma forma 𝑃𝑅 3 2,1 = 3! 2!∙1!

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? SI ¿Se pueden repetir los elementos? SI, pero siempre de la misma forma 𝑃𝑅 𝑛 𝑛1,𝑛2,…, 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑛1!∙𝑛2!∙… 𝑛 𝑘 ! donde n1 + n2 + … + nk= n

VARIACIONES con REPETICIÓN ¿De cuántas formas distintas puedo cubrir una quiniela (15 partidos) con 1, X ó 2? ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? SI 𝑉𝑅 3, 15 = 3 15 =14.348.907

VARIACIONES con REPETICIÓN ¿Influye el orden de colocación? SI ¿Intervienen todos los elementos? NO ¿Se pueden repetir los elementos? SI

COMBINACIONES VARIACIONES Sin repetición o con repetición PERMUTACIONES NO influye el orden en que colocas los MISMOS elementos - SÍ influye el orden en que colocas los MISMOS elementos - Intervienen todos los elementos m = n En el caso de que se repitan los elementos, siempre se repiten las mismas veces NOTA: Hay casos en los que m = n y es una Combinación o una Variación

n = de cuánto en cuánto se toman = = m = número de elementos n = de cuánto en cuánto se toman