El Método de la Matrix de Transferencia Pedro Pereyra Padilla Area de Física Teórica y Materia Condensada Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F. Resumen Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teoría del transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica

Introducción El objetivo de la matería condensada es explicar las propiedades del mundo material, especialmente las propiedades estructurales y electrónicas de sólidos y líquidos. Debido a la complejidad y diversidad de los sistemas que se estudian en este campo, los formalismos teóricos se basan generalmente en modelos simples, deducciones intuitivas o en cálculos numéricos realistas, generalmente muy pesados. Entre los físicos de la materia condensada, especialmente entre experimentalistas, se piensa como J. J. Thomson que “es preferible una teoría cuyas consecuencias se pueden seguir con facilidad que otra más fundamental pero inmanejable” El método de la matriz de transferencia contradice, en cierto modo, esta idea. Es una herramienta útil que, además de ser muy intuitiva, hace manejable las ecua- ciones fundamentales de las teorías cuántica y electromagnética, especialmente en la descripción cuántica del transporte electrónico y las propiedades opto-electrónicas.

LEDs B C VBE VCB IE IB IC electrones Eg= hn B V Drain (D) n electrodo de metal aislante oxido de metal canal tipo N sustrato tipo P - + Source (S) SiO2 VGS sustrato ID Gate (G) + + + + + + VDS

Semiconductores fines 1960’s V(z) fines z BC 1980’s BV hn Quantum Well Lasers Double Resonant Barriers 1960’s BC BV V(z) z fines 1980’s Laser con superred en la zona activa hn

El Método de la Matrix de Transferencia Pedro Pereyra Padilla Area de Física Teórica y Materia Condensada Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F. INDICE Introduccíon La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz S La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y cuantización La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos. Estructura de bandas. Aproximación de masa efectiva semiconductores, dispositivos opto-electrónicos. Paquetes Gaussianos en superredes ópticas Dinámica del spín en superredes magnéticas Conclusiones

Introducción jil jsr = r’ jir + t jil jsr jir jsl = r jil + t’ jir jsl La relación entre matriz de transferencia y la matriz S 1D jil V(z) n(z) jsr = r’ jir + t jil jsr jir jsl = r jil + t’ jir jsl z1 z2

Introducción jil jsl = r jil + t’ jir jir jsr = r’ jir + t jil La relación entre matriz de transferencia y la matriz S 1D jil jsl z1 z2 V(z) = r jil + t’ jir jir jsr = r’ jir + t jil Scattering matrix

Introducción jil jsr jir jsl La relación entre matriz de transferencia y la matriz S 1D jil V(z) jsr jir jsl z1 z2 Transfer matrix

la relación entre matriz de transferencia y la matriz S Introducción Antes de establecer la la relación entre matriz de transferencia y la matriz S Es necesario mencionar que: i) de la Propiedad de Reversibilidad Temporal sigue ii) del Principio de Coservación de Flujo sigue

Introducción = r’ jir + t jil jir = r jil + t’ jir La relación entre matriz de transferencia y la matriz S jil z1 z2 V(z) jir jsl = r jil + t’ jir jsr = r’ jir + t jil

Introducción = r’ jir + t jil jir = r jil + t’ jir La relación entre matriz de transferencia y la matriz S jil z1 z2 V(z) jir jsl = r jil + t’ jir jsr = r’ jir + t jil En sistemas 1D a, b,… son escalares, en 2D y 3D son matrices NxN. Estos bloques o elementos de matriz y los de la matriz S se relacionan así:

Introducción La relación entre matriz de transferencia y la matriz S jil V(z) jsr jsl jir z1 z2 Las amplitudes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones: Los coeficientes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones:

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? la barrera de potencial V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b V(z) z a V0 el pozo de potencial a

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad. Solo entonces conoceremos los coeficientes y tendremos la solución j (z) para todo punto del sistema

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? la barrera de potencial V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz b3e-ikz

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz b3e-ikz j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b funciones de onda y vectores de onda j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 0 < z < b j II (z) = a2eqz + b2e-qz

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Regresemos a las condiciones de frontera y de continuidad. j I (0) = j II (0) j ’I’(0) = j ’ II (0) Continuidad en z = 0 a2 +b2 = a1 + b1 q a2– q b2= ik a1– ik b1

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad. j II (0) = j I (0) j ’ II (0) = j ’I’(0) Continuidad en z = 0

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b j III (b) = j II (b) j ’III’(b) = j ’ II (b) Continuidad en z = b a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo I II III E j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b Continuidad en z = b j II (b) = j II (0) j ’I’(0) = j ’ II (0) a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz b3e-ikz

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz b3e-ikz

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz b3e-ikz Propiedad multiplicativa de la matriz de transferencia

¿Qué es la matriz de transferencia? Introducción ¿Qué es la matriz de transferencia? V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz b3e-ikz j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz Puesto que para una barrera de Al0.3Ga0.7As Tb 1.0 0.5 E [eV] Vo = 0.23 b = 100 nm

¿Cuál es la función de onda?

Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0 j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera V(z) z b Vo II a1eikz b1e-ikz a3eikz j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b

Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera

¿Cómo es la matriz de transferencia en barreras con perfil arbitrario?

Barrera con perfil arbitrario

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad Double Resonant Barriers BC BV

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad M1 … z0 z1 z2 zn-1 zn jil M2 Mn M3 tjil Sistemas desordenados 1D PM, PP, NK, Ann Phys. 181, 290, 1988, …

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar el pozo de potencial V(z) z a V0

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) Superredes semiconductoras

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) Superredes semiconductoras subbandas lc lc

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) Superredes semiconductoras, utilizadas en el transporte electrónico en sistemas heteroestructurados. RTBT con superred en la base RTBT: Transistor Bipolar con Tunelamiento Resonante

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) Superredes semiconductoras, utilizadas en láseres con superred en la zona activa subbandas lc lc

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera? Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos: i) Para estudiar otro de los sistemas básicos, el pozo de potencial ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF) Superredes semiconductoras Sistemas periódicos de perfíl arbitrario jil tnjil … z0 z1 z2 zn-1 zn

el pozo de potencial V(z) z a V0 ¿Qué podemos aprovechar de la barrera de potencial? V(z) z b Vo II

el pozo de potencial V(z) V0 a z a V0 Falta aquí la matriz que propaga la información física de 0+ a a- , es decir

el pozo de potencial V(z) z a V0

eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) z a V0 a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 aa = 0 b3 e-qa = daa1

eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) z a V0 a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 aa = 0 a = 30nm Vo = 0.23 eV a

eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) z a V0 a = 30nm Vo = 0.23 eV a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 aa = 0 b3 e-qa = daa1

eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) z a V0 a = 3nm Vo = 0.6 eV a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 aa = 0 b3 e-qa = daa1

eigenvalores y eigenfunciones en el pozo V(z) z a V0 a = 3nm Vo = 0.6 eV a1 eqz a3 eqz b1 e-qz b3 e-qz La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 a = 30nm Vo = 0.23 eV a

Sistemas Periódicos El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos Teoría Standard El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están agrupados en bandas contínuas (Teorías de Bandas Contínuas) Teoría de Sistemas Periódicos Finitos Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos. Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!

El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas

… … Sistemas Periódicos z0 z1 z2 z3 zn-1 zn V(z) lc M Si conocemos la MT de una celda unitaria Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 )

… Sistemas Periódicos z0 z1 z2 zn-1 zn z3 bn = a bn-1 + b a*n-1 V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc Mn = M Mn-1 bn = a bn-1 + b a*n-1 bn=b pn-1 b a*n = bn+1 - a bn a* n = pn - a pn-1 a*n = b-1 bn+1 - b-1 a b b-1 bn an = pn - a* pn-1 pn-1 = b -1 bn a* n = pn - b-1 a b pn-1

… Sistemas Periódicos z0 z1 z2 zn-1 zn z3 bn=b pn-1 V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc Mn = M Mn-1 bn=b pn-1 bn = a bn-1 + b a*n-1 a*n = pn - a pn-1 a*n = b* b n-1 + a* a* n-1 an = pn - a* pn-1 pn - a pn-1 = b* b pn-2+ a* (pn-1 – a pn-2) pn - a pn-1 = b* b b-1 bn-1+ a* (pn-1 – a pn-2) pn – (a +a*) pn-1 +(a a* - b* b) pn-2 = 0 pn – (a +a*) pn-1 + pn-2 = 0 pn = Un(ar)

… Sistemas Periódicos z0 z1 z2 zn-1 zn z3 bn=b pn-1 an = pn - a* pn-1 V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc Mn = M Mn-1 bn=b pn-1 an = pn - a* pn-1 pn = Un(ar)

El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas

… jil tnjil Which are the most relevant results of the TFPS? resonant energies

… jil tnjil z0 z1 z2 zn-1 zn M z Which is the main idea of this TFPS? one cell n cells transport properties tunnelling times energy eigenvalues scattering approach transport properties tunnelling times energy eigenvalues definition of M eigenfunctions transition probabilities optical response…

Eigenvalues and eigenfunctions