Apuntes 2º Bachillerato C.T. VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PRODUCTO MIXTO U.D. 9.7 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PRODUCTO MIXTO El producto MIXTO de tres vectores es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. Se define así: [u, v, w] = u·(vxw) El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal. u1 u2 u3 [u, v, w] = v1 v2 v3 w1 w2 w3 Geométricamente el producto mixto es el volumen del para- lelepípedo cuyos tres lados característicos vienen siendo representados por los vectores. Volumen = [u, v, w] w v k j u i @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROPIEDADES Propiedades del producto mixto 1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen. Ejemplo Sean los vectores u=(3, 1, 2), v=(1, 4, 3) y w=(2, 5, 1). a) Comprobar que [u,v,w] = [v,w,u] 3 1 2 1 4 3 [u, v, w] = 1 4 3 = [v,w,u] = 2 5 1 2 5 1 3 1 2 12+6+10 – 16 – 45 – 1 = 10 + 12 + 6 – 45 – 16 – 1  – 34 = – 34 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROPIEDADES … Ejemplo Sean los vectores u=(3, 1, 2), v=(1, 4, 3) y w=(2, 5, 1). b) Comprobar que [u,v,w] = – 1 [v,u,w] 3 1 2 1 4 3 [u, v, w] = 1 4 3 = – [v,u,w] = 3 1 2 2 5 1 2 5 1 12+6+10 – 16 – 45 – 1 = – (1 + 16 + 45 – 6 – 12 – 10)  – 34 = – (+34) c) Comprobar que [u,v,w] = – 1 [w,v,u] 3 1 2 2 5 1 [u, v, w] = 1 4 3 = – [w,v,u] = 1 4 3 2 5 1 3 1 2 12+6+10 – 16 – 45 – 1 = – (16 + 1 + 45 – 12 – 6 – 10)  – 34 = – (+34) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROPIEDADES Propiedades del producto mixto 2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0. Ejemplos Sean los vectores u=(1, 1, 0), v=(1, 3, 0) y w=(2, 5, 0). Comprobar que [u,v,w] = 0 al ser coplanarios (Los tres se encuentran en el plano XY) 1 1 0 [u, v, w] = 1 3 0 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 2 5 0 Sean los vectores u=(1, 1, 0), v=(1, 0, 1) y w=(2, a, b). Hallar el valor de a y b para que sean coplanarios [u, v, w] = 1 0 1 = 2 – a – b = 0  a = 2 – b Infinitos valores. 2 a b @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROPIEDADES … Ejemplos Sean los vectores u=(1, 1, 2), v=(3, 3, 6) y w=(2, 5, 0). Demostrar que son coplanarios. (Los tres se encuentran en el plano XY) 1 1 2 [u, v, w] = 3 3 6 = 0 + 30 + 12 – 12 – 30 – 0 = 42 – 42 = 0 2 5 0 Sean los vectores u=(1, 1, 0), v=(1, 0, 1) y w=(2, a, 5). Hallar el valor de a para que sean coplanarios 1 1 0 [u, v, w] = 1 0 1 = 2 – a – 5 = 0  a = 2 – 5 = – 3 2 a 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. VOLUMEN Sean los vectores u=(1, 0, 1), v=(1, 1, 0) y w=(1, a, 1). Los vectores son aristas de un paralelepípedo. Hallar el valor de a para que el volumen sea de 20 u3. 1 0 1 [u, v, w] = 1 1 0 = 1 + a – 1 = a  a = 20 1 a 1 Sean los vectores u=(1, 0, a), v=(0, b, 1) y w=(1, 1, 1). Hallar el valor de a y b para que el volumen sea de 12 u3. 1 0 a [u, v, w] = 0 b 1 = b + 0 + 0 – b.a – 1 – 0 = 12 1 1 1 b – b.a = 13  b (1 – a) = 13  b = 13 / (1 – a) El parámetro a no puede valer 1, a<>1. Infinitas soluciones para a<>1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. VOLUMEN D Hallar el volumen del tetraedro de vértices: A(0, 0, 0), B(2 , 1 , 3) , C(– 1, 3, 1) y D(4, 2, 1). Solución El producto mixto de los vectores AB, AC y AD determinan el volumen del prisma. Al ser la base un triángulo en lugar de rectángulo, debemos dividir entre dos. Al ser una pirámide en lugar de un prisma debemos dividir entre tres. 2 – 0 1 – 0 3 – 0 V = [AB,AC,AD|/2/3 = – 1 – 0 3 – 0 1 – 0 /6= 4 – 0 2 – 0 1 – 0 = |6 + 4 – 6 – 36 + 1 – 4| / 6 = |– 35|/6 = 35/6 w C v A u B @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PUNTOS EN EL ESPACIO Por dos puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2,y2,z2), siempre pasa una línea recta, por tando dos puntos siempre estarán alineados, pudiendo señalar un vector característico: v = PQ = (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) Tres puntos en el espacio P, Q y R, donde P(x1, y1, z1), Q(x2,y2,z2) y R(x3,y3,z3) , son los vectores de posición asociados a dichos puntos, siempre determinan un plano, salvo que estén alineados. Pueden dar lugar a seis vectores contenidos en el plano que determinan: v = PQ = (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) = – QP u = PR = (x3-x1 , y3-y1 , z3-z1) = – RP w = RQ = (x2-x3 , y2-y3 , z2-z3) = – QR Q v P Q v P w u R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ALINEACIÓN PUNTOS EN R3 Tres puntos P,Q y R en el espacio que estén alineados no formarán ninguna superficie plana y en consecuencia el módulo del producto vectorial de dos cualesquiera de los vectores, v = PQ, u = PR o w = RQ, será nulo. |vxu| = 0  vxu = 0 |uxw| = 0  uxw = 0 |wxv| = 0  wxv = 0 Siendo: v = PQ = (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) = – QP u = PR = (x3-x1 , y3-y1 , z3-z1) = – RP w = RQ = (x2-x3 , y2-y3 , z2-z3) = – QR Q v P w u R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ALINEACIÓN PUNTOS EN R3 Tres puntos P(x1, y1, z1), Q(x2,y2,z2) y R(x3,y3,z3) para que estén alineados deben cumplir: |vxu| = 0  vxu = 0 i j k vxu = x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0 x3-x1 y3-y1 z3-z1 Para que el determinante sea nulo, los dos vectores deben ser linealmente dependientes: v = k.u (x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 ) = k. (x3-x1 , y3-y1 , z3-z1) x2-x1 = k.(x3-x1) y2-y1 = k. (y3-y1) z2-z1 = k. (z3-z1) Q v P w u R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Ejercicios de alineación Comprobar si los puntos P(3, 1, 2), Q(– 1, 2, 1) y R(2, – 3 , 1) están alineados. Hallar el área del romboide del que tres de sus vértices son los puntos indicados. Resolución Vector v = PQ = (– 1 – 3, 2 – 1, 1 – 2) = (– 4, 1, – 1) Vector u = PR = (2 – 3, – 3 – 1, 1 – 2) = (– 1, – 4 , – 1) El producto vectorial debe ser nulo. i j k vxu = – 4 1 – 1 = – i + j + 16k + k – 4i – 4j = – 5i – 3j + 17k – 1 – 4 – 1 Los tres puntos NO están alineados. Área = |vxu| = √[(-5)2 + (-3) 2 + 172] = √[25 + 9 + 289] = √323 = 17,97 u2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Ejercicios de alineación Sean los puntos del espacio P(– 1 , 1, 2), Q(2, – 2, – 4 ) y R(0, – 2 , a). Hallar el valor que debe tomar a para que estén alineados. Resolución Vector v = PQ = (2– 1, – 2 – 1, – 4 – 2 ) = (1, – 3, – 6) Vector u = PR = (0 – (– 1), – 2 – 1 , a – 2) = (1, – 3 , a – 2) El producto vectorial debe ser nulo. i j k vxu = 1 – 3 – 6 = 6i – 3ai – 6j – 3k + 3k – 18i + 2j – aj = 1 – 3 a– 2 = – 12i – 3ai – 4j – aj = (– 12 – 3.a)i + (– 4 – a)j = 0 Se debe cumplir: (– 12 – 3.a) = 0  a = – 12 / 3 = – 4 (– 4 – a) = 0  a = – 4 Para a = – 4 los tres puntos están alineados en el espacio. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.