Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 8 * 3º ESO E.AC. MÉTRICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 8.1 * 3º ESO E.AC. TRIÁNGULOS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Elementos geométricos PUNTO El punto es la entidad básica de geometría. Carece de dimensiones, es decir no tiene largo, ni ancho ni espesor. Es el lugar de la recta, del plano o del espacio al que es posible asignar una posición. RECTA La recta se puede definir como la sucesión de puntos alineados en una misma dirección. Tiene longitud, pero ni anchura ni espesor. PLANO Es una superficie tal que una recta que tenga dos puntos comunes con ella está contenida totalmente en la misma. P Punto Recta r Plano π @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ÁNGULO El ángulo es la región del plano limitado por dos rectas que se cortan. También es la región del espacio limitado por dos planos que se cortan. Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Una circunferencia presenta un ángulo total de 360º. α 90º 180º 0º α 360º 270º @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º. Decimos entonces que forman un ángulo recto. Un ángulo es agudo si es menor de 90º Un ángulo es obtuso si es mayor de 90º Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS si suman 90º. Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS si suman 180º. Ángulo AGUDO 90º Ángulo OBTUSO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º. La suma de los ángulos interiores de un polígono es: S=180º.(n – 2) , de donde n es el número de lados. Los ángulos centrales de un polígono suman siempre 360º. Los ángulos de cada triángulo en que se descompone cualquier polígono suman siempre 180º B = 80º A = 60º C = 40º S = 180. n – 360 = 180. (n – 2) en cualquier polígono. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO SEGMENTO Es la parte de recta limitada por dos puntos pertenecientes a la misma. LINEA POLIGONAL Es la línea formada por dos o más segmentos consecutivos. LINEA POLIGONAL ABIERTA Es aquella en que el principio del primer segmento no coincide con el final del último. LINEA POLIGONAL CERRADA Es aquella en que el principio del primer segmento coincide con el final del último. Las figuras formadas con una línea poligonal cerrada se llaman POLÍGONOS. Cada segmento de un polígono se llama LADO. Según el número de lados que posea un polígono se llama TRIÁNGULO, CUADRILATERO, PENTÁGONO, EXÁGONO, etc. B A Segmento Línea poligonal Polígono @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Un triángulo (TRI-ángulo) es un polígono que presenta tres ángulos. Un polígono como mínimo presenta siempre tres ángulos y en consecuencia tres lados. Un polígono presenta siempre el mismo número de vértices que de lados. Polígono de 3 lados Polígono de 6 lados Polígono de infinitos lados @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Construcción de un triángulo Si nos dan los tres lados: Se traza como base un lado, generalmente el mayor. Con centro en sus extremos trazamos dos círculos con los radios de la medida de los otros dos lados. Donde su corten ambos círculos tendremos el tercer vértice. A b=3 cm c=2 cm C B a = 4 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Construcción de un triángulo Si nos dan dos lados y el ángulo que forman: Se traza como base un lado, generalmente el mayor. Con centro en un extremo trazamos el ángulo dado. Sobre la recta del ángulo llevamos el otro lado. Y finalmente unimos los extremos libres de los dos lados A Lado b c=6 cm B=50º C B a = 8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

IGUALDAD DE TRIÁNGULOS CRITERIOS A) Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados respectivamente iguales. B) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales. C) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los dos ángulos contiguos respectivamente iguales. 5 6 5 4 4 6 8 8 40º 5 5 40º 70º 70º 70º 70º 4 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Triángulos Un triángulo es un polígono de tres lados. Clasificación de los triángulos según sus lados ESCALENO ISÓSCELES EQUILATERO Tres lados diferentes Dos lados iguales Tres lados iguales Ángulos desiguales Dos ángulos iguales Tres ángulos de 60º A = 80º A = 40º A = 60º C = 60º B = 60º C = 40º B = 60º B = 70º C = 70º @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Clasificación de los triángulos según sus ángulos: ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Los tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso C = 90º C = 20º C = 70º < 90º A = 50º B = 40º A = 50º < 90º A = 40º B = 120º > 90º B = 60º < 90º @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Perímetro y área de triánguloA Perímetro de un triángulo es la suma de la medida de sus lados. P=a+b+c ALTURA Altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice cualquiera al lado opuesto de forma perpendicular a dicho lado. ÁREA Área de un triángulo es la medida de la superficie plana que encierran sus lados. A = base x altura / 2 Al presentar como base cualquiera de sus lados presenta tres alturas y por ello tres expresiones: A = a.h / 2 A = b.h’ / 2 A = c.h” / 2 El área es única, por lo que ambas expresiones deben dar idéntico resultado. b c h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Fórmula de Herón ÁREA Área de un triángulo es la medida de la superficie plana que encierran sus lados. b c h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Aplicación de la F. de Herón ÁREA Área de un triángulo es la medida de la superficie plana que encierran sus lados. b c h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Aplicación de la F. de Herón ÁREA Área de un triángulo es la medida de la superficie plana que encierran sus lados. b c h a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 Hallar el perímetro y el área de un triángulo de lados a=7 cm, b= 5 cm y c= 4 cm, sabiendo que la altura del lado a vale 3 cm. ¿Qué tipo de triángulo es? P = a+b+c = 7 + 5 + 4 = 16 cm A = a.ha / 2 = 7.3 / 2 = 10,50 cm2 Por los datos que nos dan, tres lados diferentes, es ESCALENO Como a2 <> b2 + c2  49 <>25+16 , NO es rectángulo. Ejemplo 2 Hallar el perímetro y el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen b=8 cm y c=6 cm. Hallar las altura relativa a la hipotenusa. La hipotenusa, lado a, valdrá: a2 = b2 + c2  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10 cm P = a+b+c = 10 + 8 + 6 = 24 cm Al ser un triángulo rectángulo un cateto es la altura correspondiente al otro. A = b.hb / 2 = b.c / 2 = 8.6 / 2 = 48 / 2 = 24 cm2 Tenemos: 24 = a.ha / 2  48 = 10.ha  ha = 48 / 10 = 4,8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO