Medidas de localización: la media y la mediana de una muestra Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Medidas de localización: la media y la mediana de una muestra Las medidas de localización están diseñadas para brindar al analista algunos valores cuantitativos de la ubicación central o de otro tipo de los datos en una muestra. Una medida obvia y muy útil es la media de la muestra. La media es simplemente un promedio numérico.

Definición: La media de la muestra Suponga que las observaciones en una muestra son x1, x2, ..., xn. La media de la muestra, que se denota con 𝑥 , es 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = 𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑛 𝑛

Definición: la mediana de la muestra Dado que las observaciones en una muestra son x1, x2, ..., xn, acomodadas en orden de magnitud creciente, la mediana de la muestra es 𝑥 = 𝑥 (𝑛+1)/2, 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 1 2 ( 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 +1 ) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

Ejemplo 1 Por ejemplo, suponga que el conjunto de datos es el siguiente: 1.7, 2.2, 3.9, 3.11 y 14.7. La media y la mediana de la muestra son:

Ejemplo 1 Para calcular la media de la muestra: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = 1.7+ 2.2+ 3.9+ 3.11 +14.7 𝑛 𝑥 =5.12

Ejemplo 1 Para calcular la mediana de la muestra: 𝑥 = 𝑥 (𝑛+1)/2, 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 1 2 ( 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 +1 ) 𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 Como los datos se encuentra ordenamos, colocamos el índice correspondiente a cada valor: x1 x2 x3 x4 x5 1.7 2.2 3.9 3.11 14.7

Ejemplo 1 Como n es impar = 5 La mediana es el número correspondiente al índice: 𝑥 (𝑛+1)/2, entonces: 𝑥 (5+1)/2, =𝑥3=3.9

Ejemplo 2 Se proporciona datos asociados con un estudio que se llevó a cabo en el Virginia Polytechnic Institute and State University acerca del desarrollo de una relación entre las raíces de los árboles y la acción de un hongo. Los minerales de los hongos se transfieren a los árboles, y los azúcares de los árboles a los hongos. Se plantaron dos muestras de 10 plantones de roble rojo norteño en un invernadero, una de ellas contenía plantones

Ejemplo 2 tratados con nitrógeno y la otra plantones sin tratamiento. Todas las demás condiciones ambientales se mantuvieron constantes. Todos los plantones contenían el hongo Pisolithus tinctorus. Los pesos en gramos de los tallos se registraron después de 140 días y los datos se presentan en la Tabla siguiente:

Ejemplo 2 Determinar la media y la mediada de cada grupo

Ejemplo 2 Para calcular la media de la muestra del conjunto Sin Nitrógeno: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = 0.32+0.53+0.28+0.37+0.47+ 0.43+0.36+0.42+0.38+0.43 10 𝑥 =0.399

Ejemplo 2 Para calcular la media de la muestra del conjunto Con Nitrógeno: 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 = 0.26+0.43+0.47+0.49+0.52+ 0.75+0.79+0.86+0.62+0.46 10 𝑥 =0.505

Ejemplo 2 Para calcular la mediana de la muestra del conjunto Sin Nitrógeno, se deberá ordenar los datos y asignar un índice: Como n es par, n=10, se utiliza 𝑥 = 1 2 ( 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 +1 ) 𝑥 = 1 2 𝑥 10 2 + 𝑥 10 2 +1 = 1 2 𝑥 5 + 𝑥 6 𝑥 = 1 2 0.38+0.42 =0.4 x1 0.28 x2 0.32 x3 0.36 x4 0.37 x5 0.38 x6 0.42 x7 0.43 x8 x9 0.47 x10 0.53

Ejemplo 2 Para calcular la mediana de la muestra del conjunto Con Nitrógeno, se deberá ordenar los datos y asignar un índice: Como n es par, n=10, se utiliza 𝑥 = 1 2 ( 𝑥 𝑛 2 + 𝑥 𝑛 2 +1 ) 𝑥 = 1 2 𝑥 10 2 + 𝑥 10 2 +1 = 1 2 𝑥 5 + 𝑥 6 𝑥 = 1 2 0.49+0.52 =0.505 x1 0.26 x2 0.43 x3 0.46 x4 0.47 x5 0.49 x6 0.52 x7 0.62 x8 0.75 x9 0.79 x10 0.86

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