ESTADISTICA I Ing. Jahaziel Acosta. NOTACION SUMATORIA El s í mbolo se utiliza para indicar la suma de todas las X j desde j=1 hasta j=N, es decir por.

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1 ESTADISTICA I Ing. Jahaziel Acosta

2 NOTACION SUMATORIA El s í mbolo se utiliza para indicar la suma de todas las X j desde j=1 hasta j=N, es decir por definici ó n: Cuando no cabe confusi ó n posible se representa esta suma por las notaciones m á s simples. El s í mbolo utilizado es la letra griega may ú scula “ sigma ” denotando sumatoria.

3 EJERCICIOS Dos variables “ x ” e “ y ” toman los valores: X 1 =3 X 2 =-2 X 3 =5 Y 1 =-4 Y 2 =-1 Y 3 =6 Calcular:

4 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS LA FRECUENCIA: Es el n ú mero de datos o elementos de la muestra, que caen en un mismo intervalo de clase. Es decir, que sus valores quedan totalmente comprendidos dentro de los linderos de ese mismo intervalo. FRECUENCIA SIMPLE ABSOLUTA El n ú mero de veces que se observa un mismo í tem (Los datos de una misma magnitud o clase), o la cantidad d datos que caen en un mismo intervalo. FRECUENCIA ACUMULADA Es la suma de las frecuencias de un intervalo de clase, con todas las frecuencias de los intervalos que le preceden.

5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las caracter í sticas globales de un conjunto de datos estad í sticos pueden resumirse mediante una serie de cantidades num é ricas representativas llamadas par á metros estad í sticos. Entre ellas, las medidas de tendencia central, como la media aritm é tica, la moda o la mediana. Permiten conocer de forma aproximada el comportamiento de una distribuci ó n estad í stica. Las medidas de centralización son parámetros representativos de distribuciones de frecuencia

6 MEDIDAS DE CENTRALIZACION Se llama medidas de posici ó n, tendencia central o centralizaci ó n a unos valores num é ricos en torno a los cuales se agrupan, en mayor o menor medida, los valores de una variable estad í stica. Estas medidas se conocen tambi é n como promedios. Para que un valor pueda ser considerado promedio, debe cumplirse que est é situado entre el menor y el mayor de la serie y que su c á lculo y utilizaci ó n resulten sencillos en t é rminos matem á ticos. Se distinguen dos clases principales de valores promedio: Las medidas de posici ó n centrales: medias (aritm é tica, geom é trica, cuadr á tica, ponderada), mediana y moda. Las medidas de posici ó n no centrales: entre las que destacan especialmente los cuantiles.

7 MEDIA ARITMETICA Se define media aritm é tica de una serie de valores como el resultado producido al sumar todos ellos y dividir la suma por el n ú mero total de valores. La media aritm é tica es expresada como:. Dada una variable x que toma los valores x1, x2,..., xn, con frecuencias absolutas simbolizadas por f1, f2,..., fn, la media aritm é tica de todos estos valores vendr á dada por:

8 MEDIA ARITMETICA: CARACTERISTICAS 1.En su c á lculo est á n todos los valores del conjunto de datos por lo que cada uno afecta la media. 2. La suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales respecto a la media es cero. 3. Aunque es confiable porque refleja todos los valores del conjunto de datos puede ser afectada por los valores extremos, y de esa forma llegar a ser una medida menos representativa, por lo que si la distribuci ó n es asim é trica, la media aritm é tica no constituye un valor t í pico.

9 MEDIA PONDERADA En algunas series estad í sticas, no todos los valores tienen la misma importancia. Suele suceder que, al considerar un elemento de la muestra, adem á s de tener en cuenta su frecuencia, o sea, las veces que ocurre; conviene considerar tambi é n alguna caracter í stica particular que tenga, la cual lo haga diferente a los dem á s datos; ya sea por su significaci ó n o por su importancia. Entonces, para calcular la media se ponderan dichos valores seg ú n su peso, con lo que se obtiene una media ponderada. Si se tiene una variable con valores x1, x2,..., xn, a los que se asigna un peso mediante valores num é ricos p1, p2,..., pn, la media ponderada se calcular á como sigue:

10 FORMULAS: MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL

11 MEDIANA La media aritm é tica no siempre es representativa de una serie estad í stica. Para complementarla, se utiliza un valor num é rico conocido como mediana o valor central. Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se define como un valor num é rico tal que se encuentra en el centro de la serie, con igual n ú mero de valores superiores a é l que inferiores. Normalmente, la mediana se expresa como Me. Determinación de la mediana de una serie de valores

12 MEDIANA: CARACTERISTICAS 1. Es un promedio de posici ó n no afectado por los valores extremos. 2. No est á definida algebraicamente 3. Cuando la localizaci ó n del elemento central puede ser determinada y los l í mites de clase mediana son conocidos, la mediana para la distribuci ó n de frecuencias puede ser calculada por interpolaci ó n, no importando que é sta contenga intervalos abiertos, cerrados, iguales o diferentes. 4. La suma de los valores absolutos, sin considerar el signo, de las desviaciones individuales respecto a la mediana es m í nimo. 5. La mediana en caso de una distribuci ó n asim é trica, no resulta desplazado del punto de tendencia central. 7. Si la mediana se calcula por interpolaci ó n y hay lagunas en los valores de la clase mediana o los datos son irregulares, esta medida no es buena ya que su ubicaci ó n puede resultar falsa.

13 MEDIANA La mediana es ú nica para cada grupo de valores. Cuando el n ú mero de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie: Es impar, la mediana corresponder á al valor que ocupe la posici ó n (n + 1)/2 de la serie. Es par, ninguno de ellos ocupar á la posici ó n central. Entonces, se tomar á como mediana la media aritm é tica entre los dos valores centrales.

14 FORMULAS: MEDIDAS TENDENCIA CENTRAL

15 MODA En una serie de valores a los que se asocia una frecuencia, se define moda como el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que los restantes. La moda se simboliza normalmente por Xo. Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con s ó lo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y as í sucesivamente. Caracter í sticas de la Moda. 1.Representa m á s elementos que cualquier otro valor 2. No est á afectada por los valores extremos pero para datos continuos es dudoso su c á lculo. 3. La moda para una distribuci ó n de frecuencias de datos agrupados no puede ser calculada exactamente, el valor de la moda puede ser afectado por el m é todo de agrupaci ó n de los intervalos de clase.

16 MODA CARACTERISTICAS, CONT.. 4. La moda no permite conocer la mayor parte de los datos 5. Algunas veces el azar interviene de manera importante y hace que un valor no representativo se repita frecuentemente. 6. Puede usarse para datos cuantitativos como cualitativos. 7. La moda como estad í stico, var í a mucho de una muestra a otra. 8. Cuando se tienen dos o m á s modas es dif í cil su interpretaci ó n. 9. Tiene la ventaja de que los datos desproporcionados con respecto al resto no la distorsionan, pero no se presta para un tratamiento matem á tico.

17 MEDIA GEOMÉTRICA Ú til cuando la variable cambia a lo largo del tiempo, esto es, en el calculo del promedio de tasas, razones, proporciones geom é tricas y relaciones de variables. Se utiliza en Matem á ticas Financieras y Finanzas para promediar n ú meros í ndices, tasas de cambio, porcentajes y otros valores num é ricos, etc. La media geom é trica de una serie de valores x1, x2,..., xn, denotada por Mg, se define como la ra í z n-sima del producto de todos estos valores. Se ve afectada por todos los n ú meros y valores extremos pero en menor grado que la Media Aritm é tica, su valor siempre es menor que el de é sta.

18 MEDIA ARMÓNICA Se utiliza para el promedio de rendimientos y velocidades. La Media Arm ó nica de una serie de n ú meros es el reciproco de la media aritm é tica del rec í proco de esos n ú meros.

19 MEDIA CUADRATICA La media cuadr á tica, otra medida de tendencia central, se define como la ra í z cuadrada de la media aritm é tica de los valores de la variable estad í stica considerada elevados al cuadrado. El c á lculo de la media aritm é tica de una serie de valores puede abreviarse si se resta a todos los valores un mismo n ú mero elegido convenientemente.

20 TABLAS

21 EJERCICIOS

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23 EJERCICIO MEDIA ARITMETICA En promedio el peso en kilogramos de un individuo del grupo de estudiantes del centro educativo fue de 72.11Kg

24 EJERCICIO 58 – 65 – 65 – 68 – 76 – 76 – 76 – 79 – 86 El 50% de los estudiantes del grupo presento un peso 76 Kg y el otro 50% presento un peso mayor o igual a 76 Kg. LA MEDIANA MODA Significa que el peso que con mayor frecuencia se repite en el grupo de estudiantes es 76 Kg

25 EJERCICIO

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27 CUANTILES Los cuantiles son medidas de tendencia no centrales, que permiten determinar la proporci ó n de la poblaci ó n de una variable estad í stica cuyos valores estad í sticos son menores o iguales que un valor tomado como referencia. Son valores que dividen a la distribuci ó n en n partes iguales. Cuartiles, cuatro partes iguales: Q1, Q2, Q3 Deciles, diez pares iguales : D1, D2..........D9 Percentiles o centiles, cien partes iguales: P1, P2.....P99 Los cuantiles permiten hacer un an á lisis minucioso de la distribuci ó n, se utilizan generalmente cuando se quiere ubicar un dato dentro del conjunto. Por ejemplo. Pertenece el dato x al 50% superior ?, al 10% inferior?, al 50 % central?, etc.

28 CUANTILES

29 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS LA FRECUENCIA: Es el n ú mero de datos o elementos de la muestra, que caen en un mismo intervalo de clase. Es decir, que sus valores quedan totalmente comprendidos dentro de los linderos de ese mismo intervalo. FRECUENCIA SIMPLE ABSOLUTA El n ú mero de veces que se observa un mismo í tem (Los datos de una misma magnitud o clase), o la cantidad d datos que caen en un mismo intervalo. FRECUENCIA ACUMULADA Es la suma de las frecuencias de un intervalo de clase, con todas las frecuencias de los intervalos que le preceden.

30 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Se denomina en estad í stica a la agrupaci ó n de datos en categor í as mutuamente excluyentes que indican el n ú mero de observaciones en cada categor í a. La distribuci ó n de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el n ú mero existente en cada clase. Elementos fundamentales para elaborar una distribuci ó n de frecuencia: 1) RANGO. Es una medida de dispersi ó n que se obtiene como la diferencia entre el n ú mero mayor y el n ú mero menor de los datos. R = N_max - N_min Ejemplo. Dados los n ú meros: 5, 10, 12, 8, 13, 9, 15 R= 15- 5

31 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS 2) AMPLITUD TOTAL. Simplemente se obtiene sum á ndole 1 al rango. AT = (R+1) 3) LAS CLASES O INTERVALOS DE CLASE: Grupo de valores que describen una caracter í stica. Deben incluir todas las observaciones y ser excluyentes. Los intervalos contienen los l í mites de clase que son los puntos extremos del intervalo. Se denominan intervalos cerrados, cuando contienen ambos l í mites e intervalos abiertos si incluyen solo un l í mite. Ej. Notas (20-26) Edades (20-26.5) Salarios (20-26.99)

32 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS 4)EL NUMERO DE CLASES. Es el n ú mero total de grupos en que se clasifica la informaci ó n, se recomienda que no sea menor que 5 ni mayor que 15. Se determina a trav é s de la formula de stuger, la cual es valida cuando el No de observaciones sea menor o igual a 500. Formula. Nc= 1 + 3.33log ( N ) Donde: Nc es el n ú mero de clases. N es la cantidad de muestras tomadas. 5) VALOR DEL INTERVALO O AMPLITUD Se Obtiene por medio de la ecuaci ó n de dicta: Vi = AT / Nc Donde: Vi es el valor de intervalo AT es la amplitud total Nc es el n ú mero de clase

33 PREGUNTAS