INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Miguel Mellado E. Clase 7-8 2017

Método Simplex Clase 6 La solución grafica de problemas de programación lineal esta limitada a un máximo de dos variables. Por lo cual se debe establecer un algoritmo que permita incorporar más variables y mantener la lógica de que las soluciones, se encuentran en los vértices de las hiper regiones factibles Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947. Como tal, el método simplex es un procedimiento algebraico, pero puede entenderse más fácilmente como un método geométrico, que a partir de un vértice va evaluando la función objetivo en el hirperplano de la región factible El método requiere que el problema de programación lineal sea estandarizado

Estandarización del problema Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones de desigualdad, sj para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estándar xC + xT 80 xC + xT + s1 = 80 2xC + xT  100 2xC+xT – s2 =100 Igualar la función objetivo a cero y después agregar la variables de holgura Maximizar: Z = 3x1 + 2x2 Z - 3 x1 - 2 x2 = 0 Escribir el tablero inicial simplex: Matriz de variables y coeficientes En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: 

FORMA ESTANDAR: Maximizar Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2x2 Sujeto a:   2x1 + 3x2  ≤ 42 3x1 + x2  ≤ 24 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 2x1 + x2 + s1 = 18 2x1 + 3x2 + s2 = 42 3x1 + x2 + s3 = 24 Z - 3 x1 - 2 x2 = 0

Tablero Simplex Tablero Inicial Base Variable de decisión Variable de holgura Solución X1 X2 S1 S2 S3 2 1 18 3 42 24 Z -3 -2

Variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base   Para seleccionar la variable de decisión que entra en la base, se procede a escoger aquella que tenga el coeficiente más negativo en la función objetivo, (FLECHA ROJA PARTE SUPERIOR En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde).

  B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se calcula dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, en este caso, 24/3=8 es el menor valor para S3. Esta fila se llama fila pivote (en color verde). Si al calcular los cocientes, dos o más variables tienen iguales valores, esto indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base  

Tabla del simplex Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 2 1 18 18/2 = 9 3 42 42/2 = 21 24 24/3 = 8 Z -3 -2

D. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de holgura S3 sale. D. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.   Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional, en este caso “3”, ya que el cooeficiente de la variable que entra se debe convertir en 1. A continuación mediante la reducción gaussiana (suma y restas de las filas ponderadas) hacemos ceros los restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. 

Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución   Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 2- 2*1 1-2/3 1 0-2/3 18-2*8 fila(S1) – 2 fila(X1) 2-2*1 3-2/3 42-2*8 fila(S2) – 2 fila(X1) 3/3= 1 1/3 24/3 Divide fila por 3 Z -3+3 -2+3/3 0+3/3 0+3*8 f(Z) + 3 f(X1)

Resultado iteración 1 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   Resultado iteración 1 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1/3 1 -2/3 2 7/3 26 8 Z -1 24

iteración 2 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   iteración 2 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1/3 1 -2/3 2 2/(1/3)=6 7/3 26 26/(7/3)= 78/7 8 8/(1/3)=24 Z -1 24

iteración 2 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   iteración 2 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 3 -2 6 Divide por 1/3 7/3-7/3 0-3*7/3 1-0*7/3 -2/3-(-2*7/3) 26-6*7/3 fila(S2) – 7/3 fila(X2) 1/3-1/3 0-3/3 0-0*1/3 1/3-(-2*1/3) 8-6*1/3 fila(X1) – 1/3 fila(X2) Z -1+1 0+3 0+0*1 1+(-2*1) 24+1*6 fila(Z) +fila(X2)

Resultado iteración 2 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   Resultado iteración 2 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 3 -2 6 -7 4 12 -1 Z 30

iteración 3 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   iteración 3 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 3 -2 6 6/(-2)=-3 -7 4 12 12/4= 3 Menor valor >0 -1 6/1=6 Z 30

iteración 3 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   iteración 3 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 3-14/4 0+2/4 -2+2 6+2*3 fila(X2) + 2 fila(S3) -7/4 1/4 12/4=3 Divide por 4 -1+7/4 0-1/4 1-1 6-3 fila(X1) –fila(S3) Z 3-7/4 0+1/4 -1+1 30+3 fila(Z) +fila(S3)

Resultado iteración 3 Iteración No. 1 Base Variable de decisión   Resultado iteración 3 Iteración No. 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Solución Operación X1 X2 S1 S2 S3 1 -1/2 1/2 12 -7/4 1/4 3 3/4 -1/4 Z 5/4 33 Solución optima todos los coeficientes ≥0

Aplicación 1 Maximizar Z=3X1+5X2 Restricciones: X1≤ 4 2X2≤12 3X1+2X2≤18 X1,X2>=0 Plantee el formato estándar, desarrolle la tabla simplex y encuentre la solución óptima

Formato estándar X1+ S1 = 4 2X2+ S2 = 12 3X1 + 2X2 + S3 = 18 Z - 3X1 - 5X2 = 0 base X1 X2 S1 S2 S3 Solución 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5

base X1 X2 S1 S2 S3 Solución 1 4 2 12 3 18 Z -3 -5 oo 6 9 0,5 -1 2,5 30

base X1 X2 S1 S2 S3 Solución 1 4 0,5 6 oo 3 -1 2 Z -3 2,5 30 0,33333 -0,3333 x1 1,5 36

Aplicación 2 Maximizar Z= 3X + 2Y, sujeto a: X + 2Y<=6 2X + Y<=8 -X + Y<=1 Y<=2 Considere todas las variables positivas

Formato estándar X + 2Y + S1 = 6 2X + Y + S2 = 8 - X + Y + S3 = 1 Z - 3X - 2Y = 0 base X Y S1 S2 S3 S4 SOL 1 2 6 8 -1 Z -3 -2

Primera iteración base X Y S1 S2 S3 S4 SOL 1 2 6 8 4 -1 oo Z -3 -2 6 8 4 -1 oo Z -3 -2 1 1/2 - 1/2 Fila S1-fila X 1/2 Fila S2/2 5 Fila S3+fila X Fila S4 12 Fila Z+ 3 fila X

segunda iteración base X Y S1 S2 S3 S4 SOL 1 1/2 1 - 1/2 2 1 1/3 1/2 4 1 1/2 1 - 1/2 2 1 1/3 1/2 4 8 5 3 1/3 Z 12 2/3 - 1/3 Fila S1/(1 ½) Fila X - ½ fila Y -1 3 Fila S3 - 1½ fila Y - 2/3 1/3 Fila S4 - fila Y 12 2/3 Fila Z + ½ fila Y base X Y S1 S2 S3 S4 SOL 1 2/3 - 1/3 1 1/3 3 1/3 -1 3 - 2/3 1/3 Z 12 2/3

El Simplex y las Variables Artificiales /1 Minimizar Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 Estandarizacion Tradicional Minimizar Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 – S2 = 6 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2,S2, S3 ≥ 0 ¿Puede Lograrlo con este ejemplo? Como n=4 y m=3, el Simplex hace n-m variables “cero” (en este caso una) para crear un sistema de ecuaciones consistente que arroje una Solucion Inicial Inmediata y Factible . En general, las restricciones de “=“ y de “≥” generan problemas al Simplex al momento de construir la tabla inicial que arranca el procedimiento. En cambio cuando las restricciones son de “≤” no existen estos inconvenientes y el metodo puede iniciar sin problemas con las variables de holgura. El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranque creando Variables Artificiales.

El Simplex y las Variables Artificiales /2 Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2 Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0 Min Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 Min Z = 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 – S2 = 6 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2,S2, S3 ≥ 0 La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta que en el renglón (Zj – Cj) las variables básicas tienen necesariamente valores de “cero”. Aquí n = 6 y m = 3, siendo (n-m) = 3. Es decir, al hacer 3 variables iguales a “cero” sale una Solucion Inicial Inmediata Factible. [Puede observar que estas 3 variables no básicas iniciales deben ser x1, x2, s2]. Tenga en cuenta que en la Tabla 1: - Variables No Básicas: x1, x2, s2 - Variables Básicas: R1, R2, S3

El Simplex y las Variables Artificiales /3 De la primera y segunda restricción: R1 = 3 - 3x1 - x2 R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2 Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2 Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0 Transformación necesaria en la Función Objetivo: Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1 - x2) + M(6 - 4x1 - 3x2 + S2) Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9M Tabla 1 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.) 3 1 4 -1 6 2 Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 9M

El Simplex y las Variables Artificiales /4 Tabla 1 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.) 3 1 4 -1 6 2 Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 9M Tabla OPTIMA Tabla 4 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) X1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.) 4 1 -1/5 2/5 X2 3/5 9/5 -1 Zj - Cj 7/5-M -M 17/5 NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de “cero”, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento. Juan José Bravo B., M.Sc.