Ejemplo Se va efectuar un estudio de los movimientos para determinar el mejor diseño de trabajo para ensamblar computadores PENTIUN IV; cinco diseños se hallan en estudio. Se seleccionan cuatro técnicos aleatoriamente entre todos los obreros de la planta y se les enseña minuciosamente a trabajar con los cinco diseños. Cada técnico sigue cada diseño durante un día y se registra el número de computadoras ensambladas. En este problema se desea determinar

DATOS MUESTRALES PARA EL EXPERIMENTO DE 1). Si existe diferencia significativa entre los diseños de trabajo 2). Si existe diferencia significativa en la producción entre técnicos. CUADRO No. 2.5 DATOS MUESTRALES PARA EL EXPERIMENTO DE LOS DISEÑOS DE TRABAJO Diseños de trabajos Técnicos 1 2 3 4 5 .j 10 13 9 14 11 57 6 36 12 39 8 32 i 25 43 23 45 28 164

HIPOTESIS: -Para tratamiento SOLUCION -Para bloques NIVEL DE SIGNIFICACION =0.01

CALCULO DE LA SUMA DE CUADRADOS SCT = 1536 - 1344.8 = 191.2 C = 1344.8 SCTr = 1453 - 1344.8 = 108.2 SCB = 1418 - 1344.8 = 73.2 SCE = 191.2 - (108.2 + 73.2) = 9.8

CUADRO No. 2.5 CUADRO DE ANALISIS DE VARIANZA Fuente de variacion G.L. SC CME F Media 1 1344.8 Tratamientos 4 108.2 27.05 33.110* Bloques 3 73.2 24.40 29.865* Error 12 9.8 0.817 Total 20 1536.0

DOCIMA ESTADISTICA. Como el valor de Ftab. encontrado en la distribución F-de SNEDECOR con 4 y 12 grados de libertad y a un nivel de significación de 1% nos dá un valor de 5.41 que es menor que Fexp. = 33.11. Por lo tanto la hipótesis Ho se rechaza para el caso de igualdad de tratamiento. En cuanto a la igualdad de bloques vemos que Fexp = 29.865 es mucho mayor que Ftab. = 5.41 Por lo tanto Ho. también se rechaza.

DECISION Como Ho. se rechaza tanto para igualdad de tratamientos como para igualdad de bloques, significa que existe diferencia significativa en los diseños de montaje de computadoras lo mismo que en la rapidez de los técnicos.

EFICIENCIA DE UN DISEÑO EN BLOQUE COMPLETO ALEATORIZADO CON RESPECTO A UN DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO El método que nos permite determinar esta eficiencia esta dado por la relación:

Donde CMB y CME se refieren a los cuadrados medios (diseño en bloque completo aleatorizado) para los bloques y el error experimental respectivamente. Ejemplo: Consideramos el cuadro de análisis de variancia No. 2.4 En este caso, la eficiencia del diseño en bloque completo aleatorizado con respecto a un diseño completamente aleatorizado se estima que es

Se puede ver que con el modelo de bloques completamente aleatorizado se obtiene una ganancia apreciable en eficiencia por la formación de bloques. Como insertar diapo

DISEÑOS POR BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS Cuando se construye un diseño en bloques aleatorizados, pueda suceder que no sea posible realizar todos los tratamientos en cada bloque. En estos casos es posible usar diseños en bloques aleatorizados en los que cada tratamiento no esta presente en cada bloque, estos diseños reciben el nombre de diseños en bloques incompletos siendo uno de los mas utilizados el diseño de bloques incompletos balanceados BIB

Supongamos que se tienen t tratamientos de los cuales solo se pueden experimenta k (k < t) tratamientos en cada bloque. Se puede construir un diseño BIB tomando tCk bloques y asignando una combinación de tratamientos diferente a cada bloque. Sin embargo, frecuentemente es imposible obtener un diseño balanceado con menos de tCk bloques. Los parámetros que caracterizan a este modelo son :

EJEMPLO supóngase que un ingeniero químico cree que el tiempo de reacción en un proceso químico es función del catalizador empleado. De hecho cuatro catalizadores están siendo investigados. El procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar una planta piloto, aplicar cada catalizador a ensayos separados en dicha planta y observar el tiempo de reacción

. Por lo tanto, es necesario utilizar un diseño aleatorizado por bloques incompletos. CUADRO No 2.6 DISEÑO BALANCEADO DE BLOQUES INCOMPLETOS PARA EL DISÑO DEL CATALIZADOR Tratamientos Bloques (Lotes ) De materia Prima (Catalizador) 1 2 3 4 Yi. 73 74 - 71 218 75 67 72 214 68 216 222 Y.j 221 224 207 870

Se dice que el diseño es simétrico si t = b. Análisis Estadístico Como es usual, suponemos que existen t tratamientos y b bloques. Se supone, además que se prueban k tratamientos en cada bloque, que cada tratamiento sucede r veces en el diseño( o se repite r veces) y que hay un total de N = tr = bk observaciones. Más aún, el número de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque es: Se dice que el diseño es simétrico si t = b.

El parámetro λ debe ser un entero El parámetro λ debe ser un entero. Para deducir la relación de λ, considérese cualquier tratamiento, por ejemplo el 1. Como el tratamiento 1 ocurre en bloques, y hay otros k-1 tratamientos en cada uno de esos bloques, existen r(k-1) observaciones en un bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r(k-1) observaciones deben representar al resto de los t-1 tratamientos λ veces. Por lo tanto, λ (t-1) = r(k-1) El modelo estadístico es Yij = μ+τi +βj +εij donde: Yij es la i- ésima observación del j-ésimo bloque, μ es la media general, τi es el efectodel i-ésimo tratamiento, βj es el efecto del j-ésimo bloque

γij es la componente del error aleatorio NID(0, σ2 ). La variación total en los datos se expresa mediante la suma total de cuadrados corregidos (o ajustados) La variabilidad total puede ser descompuesta SCT= SC Tratamientos (ajustada) + SC bloque + SCE

La suma de cuadrados de bloques es SCBloques = SCTratamientos(ajustada) = Qi = Yi.- - i = 1,2,…,t SCE = SCT − SCTratamiento(ajustada) − SCBloque

tiene N − a − b + 1 grados de libertad. La estadística apropiada para probar la de los efectos de tratamiento es

ANALISIS VARIANCIA PARA EL DISEÑO BALANCEADO POR BLOQUES INCOMPLETOS

Ejemplo Considere los datos de la Tabla 2.5 para el experimento de los catalizadores .- Se trata de un diseño de bloques incompletos con t = 4 , b= 4 , k = 3 , r = 3 , λ=2 y N= 12. Haciendo uso del software SIME se obtiene el siguiente cuadro.

ANALISIS DE VARIANCIA PARA EL DISEÑO BALANCEADO POR BLOQUE INCOMPLETO

Los efectos de columna y fila j y Bi suponemos que El análisis de variancia muestra que como Fo (7.58) es mayor que Ftabla (5.41) se concluye que el catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo de reacción . MODELO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO TRATAMIENTOS Y BLOQUES CON REPETICION En este modelo, como en el caso anterior se trata de dos clases o factores independientes sin embargo aquí se considera dos o más observaciones en cada casilla; es decir, cada casilla contiene una muestra con con nij ≥ 2 seleccionada de la población AiBj. Los efectos de columna y fila j y Bi suponemos que son dependientes y que "interactúan" el uno con el otro.

REPRESENTACION DE LOS DATOS . . . AC Y.j. B1 Y111 Y211 YC11 Y112 Y212 YC12 . Y11. Y21. YC1. Y.1. B2 Y121 Y221 Y12. Y22. TC2. Y.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Br Y1r1 Y2r1 YCr1 Y1r. Y2r. YCr. Y.r. y.j. Yi... Y2.. YC.. T

MODELO Donde: i = 1, 2, ..., c j = 1, 2, ..., r k = 1, 2, ..., n Donde el termino error, se considera con una variable normal con media cero y varianza 2.

DESCOMPOSICION DE LA SUMA DE CUADRADOS Factor de corrección: C = T2/rnc

CUADRO DE ANALISIS DE VARIANZA

DOCIMACIA Nos interesa realizar tres dócimas en este modelo: 1.-Los efectos de tratamiento de columna son nulos; es decir i=0 la estadística a docimas aqui es: F( c-1),rc(n-1) = F1. 2.-Los efectos de bloques son nulos; es decirj=0, para la estadística a docimas es: F (r-1),rc(n-1)=F2. 3.-Los efectos conjuntos son nulos; es decir ()ij=0 docimamos esta hipótesis nula por F (r-1)(c-1),rc (n-1) = F3 Estros procedimiento de decisión son los mismos que en los casos anteriores, cuando los valores calculados de F es 1 ó cerca a 1, se acepta Ho. cuando F es significativamente mayor que 1 se rechaza Ho.

EJEMPLO Supongamos que una firma dispone de cuatro fuentes de materias primas, A1, A2, A3, y A4 y de tres máquinas de distintas marcas B1, B2 y B3 para producir un nuevo producto. Se conoce que las tres marcas de máquinas son igualmente productivas en términos de velocidad en el número de tiradas producidas por horas, pero no se sabe si trabajan igualmente bien en términos de unidades defectuosas elaboradas entre las producidas por hora, además la firma desconoce si hay diferencia en la calidad de materias primas provenientes de las cuatro fuentes, por ultimo se sospecha que la materia prima de una fuente puede presentar un efecto esencial en una maquina particular o viceversa. Por consiguiente se desea establecer si los Ai son diferentes, si los Bj son diferentes y si existe un efecto conjunto AxB, para responder a estas preguntas se hace operar cada máquina en idénticas condiciones con cada fuente de materias primas durante dos horas y se registran el numero de unidades defectuosas por cada hora.

DATOS REFERENTE A LA PRODUCCION DE 3 MAQUINA CON 4 FUENTES DE MATERIA PRIMA EN 2 HORAS Total B1 9 6 8 5 4 7 14 12 50 B2 2 1 3 28 B3 10 16 17 15 62

DOCIMA 1.-Ho: los números medios de unidades defectuosas por hora para las materias primas de todas las fuentes son iguales; es decir i = 0 H1: No todas las i son cero 2.- Ho: los números medios de unidades defectuosas por hora para las tres marcas de maquinas son iguales; es decir, j =0 H1 : No todas las j son cero 3.- Ho: la interacción entre las materias primas y las maquinas es nula es decir ()ij = 0 H1: La interacción no es nula

DESCOMPOSICION DE LOS NUMEROS DE CUADRADOS STC = 952 - 817 = 135.33 SCTr = 819 - 817 = 2.33 SCB = 891 - 817 =74.33 SCE = 952 – 897 = 55 SCI = SCT - (SCTr + SCB + SCE) = 3.667

CUADRO DE ANALISIS DE VARIANZA Fuente de variacion G.L. SC CME F Tratamientos 3 2 0.67 0.15 Bloques 74 37.00 8.22 Interac. 6 4 0.83 0.184 Error 12 55 4.50 Total 23 135

De los datos del cuadro de análisis de varianza, tenemos: 1) para i = 0 F3,12 = 0.15 lleva a la aceptación de i = 0 2) Para j =0 F 2,12 = 8.22 que lleva el rechazo de j =0 con  =0.5 ya que F 2,12:0.01 = 6.93. 3) para ()ij = 0 F 6,12 = 0.184 que lleva a la aceptación de () = 0. F Por consiguiente, vemos que no hay efectos significativos de tratamientos (materias primas) ni efectos conjuntos entre tratamientos y bloques. Sin embargo existen diferencias altamente significativas entre las maquinas de diferentes marcas. Estas conclusiones indican que la firma debe comprar la segunda marca de maquinas (B2) y que puede seleccionar cualquiera de las cuatro fuentes de materias primas por que no presentan diferencias.