Matemáticas 1º Bachillerato CT TRIGONOMETRÍA U.D. 10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMAS U.D. 10.9 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMA 1 Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media? B Julia c 4 km/h 50º A distancia = Lado a 6 km/h b María C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Resolución_1 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = distancia pedida. Lado b = v.t = 6 km/h . 1,5 h = 9 km anda María Lado c = v.t = 4 km/h . 1,5 h = 6 km anda Laura Ángulo A = 50º Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: a / sen 50º = 9 / sen B = 6 / sen C Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 92 + 62 – 2.9.6.cos 50º  a2 = 81 + 36 – 69,42  a2 = 47,58  a = 6’8977 km @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMA 2 Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm, y forman un ángulo de 32º. ¿Cuánto miden las diagonales? B d a 6 cm c D 32º 8 cm A b C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Resolución_2 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = d = diagonal menor. Lado b = 8 cm Lado c = 6 cm Ángulo A = 32º Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 82 + 62 – 2.8.6.cos 32º  a2 = 64 + 36 – 81,41  a2 = 18,59  a = d = 4,31 cm Hallamos el ángulo suplementario de 32º A’ = 180 – 32 = 148º Y visualizamos otro triángulo no rectángulo cuyos lados son los dos lados del paralelogramo y la diagonal mayor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Resolución_2 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = D = diagonal menor. Lado b = 8 cm Lado c = 6 cm Ángulo A = 148º Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 82 + 62 – 2.8.6.cos 148º  a2 = 64 + 36 – 96.( – 0,84805)  a2 = 181,41  a = D = 13,47 cm Observamos que la diagonal mayor es mucho mayor que la menor al ser el ángulo que forman los lados algo pequeño. A su vez vemos que D < b + c, pues 13,47 < 14 Y que d > b – c , pues 4,31 > 2 Por todo ello la solución es correcta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMA 3 Kepler pensaba que las órbitas de los planetas estaban relacionadas con los radios de 6 esferas concéntricas inscritas y circunscritas alternativamente en los poliedros regulares. Si el radio de la esfera inscrita en un cubo mide 1 m, ¿cuánto mide la arista del cubo? ¿Y el radio de la esfera circunscrita a él? a r=1 m R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Resolución_3 La arista del cubo que contiene a la esfera inscrita en él es obvio que mide lo mismo que el diámetro de la esfera: a=d=2.r = 2.1 = 2 cm La diagonal de una cara del cubo será: d2 = 22 + 22  d = √8 = 2. √2 m Partiendo el cubo en dos: (Ver figura) Visualizando el triángulo: Un cateto = r = 1 Otro cateto = d/2 = √2 Hipotenusa = R Y hallamos R = Radio esfera circunscrita R2 = 12 + (√2)2 = 1 + 2 = 3 R = √3 m r=1 m R a=2 m d=2.√2 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMA 4 En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cara con la base es de 52º. Calcula: La altura de la pirámide. La altura de una cara. La longitud de una arista. El ángulo que forma la arista con la base del triángulo. El ángulo superior de cada cara. El volumen de la pirámide. h H 52º 52º L=230 m 115 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Resolución_4 Se visualiza un triángulo rectángulo h = Altura de una cara o apotema de la pirámide. H = Altura de la pirámide. Lado base / 2 = 115 m, que hace de cateto. Ángulo = 52º Calculamos H, la altura de la pirámide: Tg 52º = H/115  H = 115.tg 52º = 115.1,28 = 147,19 m = H Calculamos h, la altura de una cara: h2 = 1152 + 147,192 = 34891  h = 186,79 m Calculamos a, la longitud de una arista: a2 = 1152 + 186,792 = 48116  a = 219,35 m Calculamos μ , el ángulo que forma la arista con la base: μ = arc sen (H/a) = arc sen 147,19/219,35  μ = arc sen 0,671 = 42,14º a h 115 m a H μ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMA 5 Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entre sus centros. Radios y tangentes forman un ángulo recto. El ángulo formado por los radios será por ello el mismo que el formado por las tangentes, de 30º. d 10 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Resolución_5 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = d = distancia entre centros. Lado b = 10 cm Lado c = 13 cm Ángulo A = 30º Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 102 + 132 – 2.10.13.cos 30º  a2 = 100 + 169 – 260.0,866  a2 = 43,84  a = d = 6,62 cm d 13 30º 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMA 6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT PROBLEMAS 7-8 PROBLEMA 7 Queremos hallar la distancia entre dos árboles, A y B, el segundo de los cuales es inaccesible. Tomando otro árbol, C, como referencia que dista del primero 42,6 m , desde los árboles A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. Halla la distancia entre los árboles A y B. Solución: 43, 24 m PROBLEMA 8 Sean A y B dos puntos inaccesibles de un terreno de labranza, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud de 73,2 m. Medimos, gracias a las correspondientes visuales, los ángulos ACD, BCD, BDC y ADC, que son de 80,2º; 43,5º, 32º y 23,23º respectivamente. Determinar la distancia AB. Solución: 22,1 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios 9 y 10 Datos Soluciones EJERCICIO 9    a = 12 m   b = 8 m   A = 150º  c = 4,27 m        B = 19,46º      C = 10,53º EJERCICIO 10    a = 72 m    b = 57 m   C = 75,78º c = 80,12 m      A = 60,6º        B = 43,62º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT