U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 8.3 * 1º ESO TRIÁNGULOS π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO POLÍGONOS POLÍGONO Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Un polígono es regular si tiene sus ángulos y lados iguales. De lo contrario es irregular. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR Centro: punto interior que está a igual distancia de todos los vértices. Radio: Segmento que une el centro con un vértice. El centro y el radio lo son también de la circunferencia circunscrita. Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada Polígono regular @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Tipos de polígonos SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Lados = 3 TRIÁNGULOS Lados = 4 CUADRILÁTEROS Lados = 5 PENTÁGONOS Lados = 6 EXÁGONOS Lados = 7 HEPTÁGONOS Lados = 8 OCTÓGONO ETC. SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES Todos los ángulos interiores son convexos, menores de 180º. POLÍGONO CONVEXO Algún ángulo interior es cóncavo, mayor de 180º. POLÍGONO CÁNCAVO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Un triángulo (TRI-ángulo) es un polígono que presenta tres ángulos. Un polígono como mínimo presenta siempre tres ángulos y en consecuencia tres lados. Un polígono presenta siempre el mismo número de vértices que de lados. Polígono de 3 lados Polígono de 6 lados Polígono de infinitos lados @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CLASIFICACIÓN Clasificación por sus lados: ESCALENO ISÓSCELES EQUILATERO 3 lados desiguales 2 lados iguales 3 lados iguales a = 5 b = 4 b = 4 a = 6 a = 4 b = 6 c = 6 c = 4 c = 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Clasificación por sus ángulos: ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Los tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso C = 20º C = 70º < 90º C = 90º A = 50º B = 40º A = 50º < 90º B = 60º < 90º A = 40º B = 120º > 90º @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Construcción de un triángulo Si nos dan los tres lados: Se traza como base un lado, generalmente el mayor. Con centro en sus extremos trazamos dos círculos con los radios de la medida de los otros dos lados. Donde su corten ambos círculos tendremos el tercer vértice. A b=3 cm c=2 cm C B a = 4 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Construcción de un triángulo Si nos dan dos lados y el ángulo que forman: Se traza como base un lado, generalmente el mayor. Con centro en un extremo trazamos el ángulo dado. Sobre la recta del ángulo llevamos el otro lado. Y finalmente unimos los extremos libres de los dos lados A Lado b c=6 cm B=50º C B a = 8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

IGUALDAD DE TRIÁNGULOS CRITERIOS A) Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados respectivamente iguales. B) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales. C) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los dos ángulos contiguos respectivamente iguales. 5 6 5 4 4 6 8 8 40º 5 5 40º 70º 70º 70º 70º 4 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO EL TRIÁNGULO TRIÁNGULOS Son los polígonos de tres lados. Perímetro Suma de los lados P=a+b+c Área La mitad del producto de un lado cualquiera por la altura correspondiente. Altura La recta perpendicular a un lado, que hace de base, trazada desde el vértice opuesto a dicho lado. P = a+b+c a c h b A = b.h / 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Particularidades FÓRMULA DE HERÓN Cuando en un triángulo se conoce la medida de los tres lados, se puede emplear la fórmula de Herón para hallar el área: A=√(p.(p – a).(p – b).(p – c)) Siendo p el semiperímetro: p= (a+b+c)/2 EJEMPLO 1 Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos lados miden a=3, b=5 y c=7 cm P = a+b+c = 4+5+7 = 16 p= P/2 = 16/2 = 8 A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) A=√(8.(8 – 4).(8 – 5).(8 – 7)) A=√(8.4.3.1) = √96 = √16.6 = 4.√6 u2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Triángulo Rectángulo ÁREAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Si el triángulo es rectángulo, un cateto es la altura correspondiente al otro cateto y viceversa. Ello nos permite calcular el área sin necesidad de hallar previamente la altura. A=b.c/2 Y también nos permite calcular la altura correspondiente a la base: A=a.h/2 Luego podemos igualar las áreas, al ser la misma: b.c/2 = a.h/2 Y despejando la altura correspondiente a la hipotenusa: h= b.c / a a b ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Triángulo Rectángulo Ejemplo 2 Hallar el perímetro y el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden b= 8 cm y c= 6 cm, así como la altura relativa al lado a. Calculamos el lado a o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras a=√(b2+ c2) = √(82+62) = √100 = 10 cm Perímetro: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm Si tomamos b=8 como base  h=c=6 A=b.h/2 = 8.6/2 = 24 cm2 Si tomamos c=6 como base  h=b=8 A=c.h/2 = 6.8/2 = 24 cm2 El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. b.c/2 = a.ha/2  8.6/2=10.ha/2  ha = 8.6/10 = 4,8 cm a b ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Triángulo Isósceles Ejemplo 3 Hallar el perímetro y el área del triángulo isósceles de altura hc=12 cm y lado c=10 cm, así como la altura relativa a los lados iguales. Calculamos el lado a=b o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. a=b=√(hc2+ (c/2)2) = √(122+52) = √169 = 13 cm Perímetro: P=a+b+c = 13+13+12 = 38 cm Si tomamos c=10 como base  h=hc=12 A=b.h/2 = 10.12 / 2 = 60 cm2 El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. A = a.ha / 2  60 =13.ha / 2  ha = 60.2/13 = 9,23 cm La altura correspondiente al lado b es: hb=ha=9,23 cm b a hc ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo 4 Comprobar el área hallada en el Ejemplo 2 mediante la Fórmula de Herón: a=10 cm, b=8 cm, c= 6 cm P = a+b+c = 10+8+6 = 24 p= P/2 = 24/2 = 12 A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) A=√(12.(12 – 10).(12 – 8).(12 – 6)) A=√(12.2.4.6) = √24.24 = 24 cm2 Ejemplo 5 Comprobar el área hallada en el Ejemplo 3 mediante la Fórmula de Herón: a=13 cm, b=13 cm, c= 10 cm P = a+b+c = 13+13+10 = 36 p= P/2 = 36/2 = 18 A=√(18.(18 – 13).(18 – 13).(18 – 10)) A=√(18.5.5.2) = √36.25 = 6.5 = 30 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Triángulo Equilatero Ejemplo 6 Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero de lado 12 cm. En un triángulo equilátero a=b=c=l Perímetro: P=a+b+c = l+l+l = 3.l = 3.12 = 36 cm Asimismo las alturas correspondientes a los lados también son iguales: ha=hb=hc=h Mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. h=√(l2 – (l /2)2) = √(122 – 62) = √(144 – 36) = √108 = 6.√3 cm Si tomamos l=12 como base  h= 6.√3 A=b.h/2 = 12. 6.√3 / 2 = 36.√3 cm2 l l h h h l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO