Procesos estocásticos 1 Un proceso estocástico es un proceso o sistema que se desarrolla o evoluciona en el tiempo (y/o en el espacio) mientras que pasa por fluctuaciones al azar. Sea X(t)el estado del proceso o el sistema al instante t (por ejemplo el precio de cierre de una acción al final de un día). El conjunto de variables aleatorias X = {X(t), t  T} se denomina un proceso estocástico con T el espacio del parámetro. La unión de los recorridos de las variables X(t) se denomina el espacio de estados E del proceso. 1 Estocástico proviene del griego y significa “al azar” o aleatorio

Procesos estocásticos El precio de una acción al cierre del día en función del día. Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados discreto y en tiempo discreto.

Procesos estocásticos El precio de una acción al instante t durante un día en función del instante t . Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados discreto y en tiempo continuo.

Procesos estocásticos El nivel de tensión de una señal al instante t en función del instante t . Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados continuo (se supone que lo es el nivel de la señal) y en tiempo discreto.

Procesos estocásticos El nivel de tensión de una señal al instante t en función del instante t . Este es un ejemplo de un proceso estocástico con espacio de estados continuo (se supone que lo es el nivel de la señal) y en tiempo continuo.

Procesos estocásticos Sea N(t) el número de ocurrencias de cierto suceso en el intervalo (0,t) (número de autos que llegan a un puesto de peaje, consultas a un sitio web, etc). El proceso estocástico N = {N(t), t 0}, en tiempo continuo y espacio de estados discreto, sedenomina proceso de conteo. Propiedades de un proceso de conteo: N(0) = 0 N(t)  0 , t  0 Si s < t  N(s)  N(t) N(t) - N(s) es el número de eventos que ocurrieron después de s pero antes de t.

Procesos estocásticos Un proceso estocástico de conteo donde el tiempo entre ocurrencias es una variable aleatoria con distribución exponencial.

Procesos estocásticos Dos propiedades importantes que puede tener un proceso estocástico. El proceso estocástico X = {X(t), t  T} posee la propiedad de los incrementos independientes si para toda elección t0 < t1 < ... < tn , entonces las variables aleatorias X(t1) - X(t0) , X(t2) - X(t1), X(t3) - X(t2), ..., X(tn) - X(tn-1) son independientes. Las magnitudes de los cambios de estados en intervalos disjuntos son independientes. El proceso estocástico X = {X(t), t  T} posee la propiedad de los incrementos estacionarios si la variable aleatoria X( t + s) - X(t) tiene la misma distribución de probabilidades para todo valor de t y para cualquier s > 0. La distribución de probabilidades de la magnitud del cambio de estado depende solo de la longitud del intervalo de tiempo y no de donde comienza.

Procesos estocásticos Procesos de Poisson Un proceso de conteo N = {N(t), t 0} es un proceso de Poisson de media  > 0 si: El proceso tiene incrementos independientes. Los incrementos son estacionarios. La probabilidad de que exactamente un evento ocurra en un intervalo de tiempo de longitud h es  h + o(h). La probabilidad de que más de evento ocurra en un intervalo de tiempo de longitud h es o(h).

Procesos estocásticos Si N = {N(t), t 0} es un proceso de Poisson de media  > 0 entonces entonces N(t) es una variable aleatoria discreta con distrbución de Poisson de parámetro  t. Los tiempos entre ocurrencias de un proceso de Poisson de media  son variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro .