DETERMINANTES

Determinante de una matriz cuadrada Propiedades Cálculo del rango de una matriz Resolución de S.E.L con determinantes Teorema de Rouché Regla de Cramer Cálculo de la matriz inversa

Determinante de una matriz cuadrada Sea A una matriz cuadrada . Llamaremos determinante de A y lo designaremos por det(A) o |A| a un número que definiremos de la siguiente forma: 1) Determinante de una matriz de orden 2: Ejemplos: =2·3-(-1)·4=10

2) Determinante de una matriz de orden 3 o superior: Para definir el determinante de una matriz de orden 3 o superior hay que definir previamente los siguientes conceptos: Menor complementario del elemento aij (se designa por Mij) es el determinante que resulta al suprimir en la matriz A la fila i y la columna j M12= M23= 8 M22= M33= -3 Adjunto del elemento aij (se designa por Aij) Aij=(-1)i+j .Mij En el ejemplo anterior: A11=(-1)2·3=3 A12=(-1)3·14=-14 A23=-8

El adjunto coincide con el menor complementario, tan solo cambia el signo: tendrá igual signo o signo contrario según el siguiente esquema: Determinante de una matriz cuadrada es el número que se obtiene al multiplicar los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos: |A|=a11A11+a12A12+a13A13+….+a1nA1n Más adelante veremos que se puede obtener el mismo resultado si utilizamos cualquier otra fila o columna

Ejemplos: a11A11+a12A12+a13A13= =3-2·14-3·29=-112 =(-2)·(-2)-2·(-2)=8 =-750

Regla de Sarrus (para determinantes de matrices de orden 3) Productos positivos: Productos negativos: Ejemplo

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Un determinante se puede desarrollar por cualquier fila o columna: Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden 4 desarrollado por la 3ª fila, quedaría: |A|=a31A31+a32A32+a33A13+a34A34 Ejemplo: para calcular el determinante siguiente lo haremos por la 2ª columna (que es la que tiene más ceros)

4. Si permutamos dos filas, el determinante cambia de signo El determinante de una matriz coincide con el determinante de su transpuesta: |A|=|At| En consecuencia, todas las propiedades que se enuncien para filas serán también válidas para columnas Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, el determinante vale 0 4. Si permutamos dos filas, el determinante cambia de signo Si en un determinante una fila es proporcional a otra fila entonces dicho determinante vale 0. Un determinante con dos filas (o dos columnas) iguales vale 0 Si multiplicamos todos los elementos de una fila por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número =8·84=672

Si descomponemos una fila (o columna) en suma de dos vectores, el determinante se puede obtener como suma de dos determinantes, de la siguiente forma: Si a una fila le sumamos una combinación lineal del resto de las filas, el determinante no varía. La misma operación se puede hacer con las columnas. Esta propiedad nos servirá para “hacer ceros” en una fila o columna de un determinante antes de desarrollarlo

10. Si en un determinante, una fila (columna) es combinación lineal de las otras filas (de las otras columnas), el determinante vale 0 Ya que la tercera columna es la suma de las dos primeras Recíprocamente: si un determinante vale 0, hay una fila que es combinación lineal de las demás filas. Y también hay una columna que es combinación lineal de las demás columnas. Esta propiedad es la que utilizaremos para el cálculo del rango. Calcula los siguientes determinantes. ¿Qué puedes decir del rango de las respectivas matrices? |A|=0 . Por tanto hay una fila C.L. de las otras; rang(A)<3 |B|=28 . Por tanto las tres filas son L.I. rang(B)=3 12. |A·B|=|A|·|B|

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo Cálculo del rango de una matriz con determinantes. NOTA: hablamos ahora de una matriz de cualquier dimensión, no necesariamente cuadrada El rango de una matriz es el mayor nº de filas (columnas) Linealmente independientes RECUERDA La propiedad 11 nos dice que si un determinante vale 0 hay una C.L. entre sus filas. De aquí se deduce la siguiente propiedad: El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo Llamamos menor a un determinante formado por algunas filas y algunas columnas de la matriz A En la práctica, buscaremos un menor no nulo (de orden 2, por ejemplo). Le añadiremos una fila y una columna (“orlamos” el menor). Si todos los menores orlados que podemos hacer con una fila fija y todas las columnas son cero, entonces esa fila es C.L. de las otras (a efectos de rango, se podría suprimir). Si, por el contrario, hay alguno no nulo, pasamos a orlar éste y así sucesivamente. 1 2 -1 4 -2 -3 1 3 -1 4 7 -2 1 2 3 -1 4 7 -2 -3 1 -1 4 =1 =0 =4≠0 rang(A)=3

Ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A Por tanto, rang(A)≥2. De hecho, podemos afirmar que las dos primeras filas son L.I. Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y 5: Podemos afirmar que las fila 3 es CL de las filas 1 y 2 Añadimos al menor la fila 4 y las columnas 3, 4 y 5: Rang(A)=2

Otro ejemplo. Vamos a calcular el rango de la matriz A Por tanto, rang(A)≥2. De hecho, podemos afirmar que las dos primeras filas son L.I. Añadimos al menor la fila 3 y las columnas 3, 4 y 5 : Podemos afirmar que las tres primeras filas son L.I. rang(A)≥3 Añadimos al nuevo menor no nulo la fila 4 y las columnas 3 y 4 : rang(A)=4

Resolución de sistemas con determinantes A · X = B Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales: RECUERDA A: Matriz de coeficientes o matriz del sistema B: Vector de términos independientes A’: matriz ampliada [A|B] matriz de los coeficientes a la que se le añade una columna a la derecha, la columna de los términos independientes Teorema de Rouche: Un S.E.L. es compatible ↔ rang(A)=rang(A’) En el ejemplo: rang(A)=rang(A’)=3. El sistema es compatible El rango de una matriz es el mayor número de columnas L.I. Como la matriz A’ es tiene las mismas columnas de A más una (la de los términos independientes), el rango de A’ será igual al rango de A (S.C.) ó será mayor (en concreto, una unidad más, ya que sólo añadimos un vector); en este caso el sistema será S.I.

Si rang(A)=rang(A’)= nº de incógnitas SCD (compatible determinado) Además del teorema de Rouche, si el rango de la matriz coincide con el rango de la ampliada, podemos asegurar que: - Si coincide con el número de incógnitas el sistema será determinado. - En caso contrario, será indeterminado RESUMEN Si rang(A)=rang(A’)= nº de incógnitas SCD (compatible determinado) Si rang(A)=rang(A’) < nº de incógnitas SCI (compatible indeterminado) Si rang(A)≠rang(A’) SI (incompatible)

Regla de Cramer Definición: Un sistema es de Cramer si: El nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas |A|≠0 Regla de Cramer Un sistema de Cramer es compatible determinado (S.C.D.) y su solución viene dada por las siguientes fórmulas: Donde Ax, Ay, Az,… son las matrices que resultan al sustituir la columna de la incógnita correspondiente (1ª, 2ª, 3ª,…) por la columna de los términos independientes

Ejemplo 1: Por tanto es un sistema de Cramer: SCD Solución: Ejemplo 2: SCD

Una matriz cuadrada tiene inversa |A|≠0 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada tiene inversa |A|≠0 En este caso diremos que la matriz A es regular . En cambio, si |A|=0 entonces diremos que A es singular Cálculo de la matriz inversa: Donde Adj(A) es la matriz que resulta de sustituir cada elemento de A por su adjunto

3 9 1 4 Ejemplo1: Calcula la inversa de la matriz A |A|=3 Por tanto, A tiene inversa. Para calcularla, calculamos primero los adjuntos de todos los elementos: 4 -1 -9 3 4/3 -3 -1/3 1 4 -9 -1 3 Adj(A)= Adj(A)t = = Ejemplo2: -1 6 -2 12 -5 5 |A|=-4+6-1=1 Adj(A)= -1 -2 6 12 5 -5 2 -1 -2 6 12 5 -5 2 A-1 Adj(A)t = =

Aplicaciones: ecuaciones matriciales 1) Resuelve la ecuación AX=B, siendo: -3 6 2 -4 1 B= 2) Resuelve la ecuación: XB=C, siendo: 3 9 1 4 -1 2 4 6 B= C= 3) Resuelve la ecuación: AXB=C, siendo: A=