Ing. José Alberto Salgado Coussin Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuaciones de Segundo Grado Las Cónicas Concepto de Excentricidad Matemáticas Ecuaciones de Segundo Grado Las Cónicas Concepto de Excentricidad

Ecuación de Segundo Grado Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2 ). Ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1

Solución de Ecuaciones de Segundo Grado Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). * Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro. * Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:

Solución de Ecuaciones de Segundo Grado *Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1 = 0, tendrá por solución lo siguiente: * Y así 1 y 0.33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación. 

Ejercicios x2/2 = x/2 + 3 3x2 = 12 x2 - 2x -1 = 0 x2 -1/4 = 0 y = 3x2 - 4x + 1

Problemas de Aplicación 1. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado de mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7. 2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno? 3. Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. . Calcular dimensiones y el área del rectángulo inicial.

Las Cónicas

Las Cónicas El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.

Circunferencia Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro. Ecuación de la circunferencia Considérese la circunferencia centrada en O (a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es: d(X, O) = r, es decir: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Simplificación : (x - a)2 + (y - b)2 = r 2

Ejemplo Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3). Así la ecuación es: x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13 x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

Ejercicios 1. Hallar los puntos de intersección de la recta x + 2y + 1 = 0 y la circunferencia 2.Hallar las tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 3y - 18 3.Hallar los puntos de intersección de dos circunferencias cuyas ecuaciones son x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0 y x2 + y2 + x + y - 8 = 0

Sandra Nogueda Zequeida 4010 Hecho por: Sandra Nogueda Zequeida 4010