Límites que involucran al Infinito Sesión 18

Límites que tienden al infinito: x -> 2 x – 2 ∞

Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto que contenga a “a”, excepto posiblemente en a mismo. Diremos que f(x) crece sin límite a medida que x se aproxima a “a”, lo cual se denota por: lím f(x) = +∞ xa

Teorema: xa Ejemplo: x3

Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto que contenga a “a”, excepto posiblemente en a mismo. Diremos que f(x) decrece sin límite, a medida que x se aproxima a “a”, el cual se denota por: lím f(x) = - ∞ xa

Teorema: xa Ejemplo: x5

Existen funciones que al acercarse a un valor determinado de x crecen infinitamente por un lado y decrecen infinitamente por el otro, es decir: El signo ∞ , sin signo significa que el comportamiento de la función es al ± ∞. lím f (x)= ± ∞ = ∞ xa

Teorema: lím 1 = + ∞ (x – a)n x->a si, n = impar

Ejemplo: x2- x2+ Por lo tanto: x2

lím f(x) = - ∞ lím f(x) = +∞ xa xa Es conveniente comentar nuevamente que las expresiones: no indican que f(x) tenga límite, estos límites no existen y los símbolos +∞ y - ∞ solamente indican el comportamiento de la función cuando x se acerca a “a”. lím f(x) = - ∞ xa lím f(x) = +∞ xa y

Límites de funciones cuando x tiende al infinito x -> + ∞ x – 2

Definición lím f(x) = L x- ∞ Sea f una función que está definida en todos los números de algún intervalo (-∞, a). Si f(x) se aproxima a L cuando x decrece sin límite, lo cual se denota por: Ejemplo: lím f(x) = L x- ∞ x-∞

Definición lím f(x) = L x+∞ Sea f una función que está definida en todos los números de algún intervalo (a, +∞). Si f(x) se aproxima a L cuando x crece sin límite, lo cual se denota por: Ejemplo: lím f(x) = L x+∞ x+∞

Teoremas para encontrar límites cuando x tiende al infinito Sea n cualquier entero positivo, entonces: x∞ x- ∞

Ejemplos: x∞ x- ∞

x∞ En este ejemplo no podemos sustituir el ∞ porque no existe la operación 3(∞)3 pues el símbolo infinito no es un número real. Para resolver este tipo de límites aplicaremos los teoremas anteriores después de realizar las operaciones algebraicas que nos permitan obtener expresiones del tipo 1/xn. Para el ejemplo de arriba dividiremos el numerador y el denominador entre x3 (la variable con mayor exponente).

x ∞ Aplicando el teorema: x∞