Sucesiones y Series Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Introducción Situación 1: Suponga que estás en el techo de un edificio bien alto y tiras una piedra al vacío la cual recorre 16 pies en el primer segundo, 48 pies en el segundo, 80 pies en el tercero y así sucesivamente. ¿Qué distancia recorrerá el objeto en el 4, 5, 6 y 7 segundo? Situación 2: Cuando una bacteria entra al cuerpo humano se duplica a la primera hora y se sigue duplicando cada hora que pasa. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 10 horas? Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

¿Qué es una sucesión? En general, una sucesión es un conjunto de números reales en un orden específico. Cada número es llamado un término de la sucesión. Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Por ejemplo, Finitas Infinitas a) 2, 4, 6, 8 c) 1, 6, 11, 16, … b) -27, -24, …,30 d) 2, 4, 8, 16,… Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Formas para representar una sucesión Sucesión de forma recursiva Sucesión con fórmula general o una función Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz.

Sucesión de forma recursiva Una sucesión está dada en forma recursiva cuando se ofrecen los siguientes datos: a. el primer o los primeros términos de la sucesión b. se especifica cómo encontrar los términos subsiguientes de la sucesión utilizando los primeros Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz.

Ejemplo Lístense los primeros 5 términos de la sucesión descrita por y para Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Ejercicio Lístense los primeros 5 términos de la sucesión descrita por y para Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Sucesión con fórmula general o una función Considera la función f (n) = 2n -1 donde el dominio de la misma es el conjunto de los números naturales. La función f es un ejemplo de una sucesión, sin embargo, no es muy común representar sucesiones de esta manera. La notación para una sucesión es . Por consiguiente, en lugar cuando una función se escribe para representar una sucesión se escribe Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Primeros 5 términos de la sucesión pasada Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Serie La suma de los términos de una sucesión se denomina serie. Las series se clasifican en finitas e infinitas. Para trabajar con las series es importante conocer el símbolo de sumatoria. Por ejemplo, en la sucesión1, 2, 4, 8, 16 la serie es 1 + 2 + 4 + 8 + 16. Con frecuencia una serie se representa de forma más compacta por medio de la notación de sumatoria que introduciremos en la siguiente diapositiva. Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Símbolo de sumatoria Considera los siguientes ejemplos 1) 2) Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Sucesión aritmética Considera la sucesión obtenida en la primera situación que resolvimos al comenzar esta presentación. La sucesión era 16, 48, 80, … En la misma se observó que cada término siguiente se puede obtener sumándole 32 al anterior. Cuando una sucesión es de esta forma se dice que es aritmética Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Sucesión aritmética (cont.) Una sucesión se dice que es aritmética si existe una constante d, llamada diferencia común tal que, Es decir, Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Ejemplos La sucesión 3, 5, 7, 9… es aritmética con d = 2 La sucesión -7, 0, 7, 14… es aritmética con d = 7 Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Fórmula para el enésimo término de una sucesión aritmética Utiliza el hecho de que en una serie aritmética para tratar de desarrollar una fórmula para hallar el enésimo término en una serie aritmética. Puedes utilizar la sucesión 3, 6, 9, 12, … Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Fórmula para el enésimo término de una sucesión aritmética (cont.) está dada por: para todo n > 1 Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Ejercicio Halla el término número 25 en la sucesión 3, 6, 9, 12, … Si el primero y el décimo término de una sucesión aritmética son 10 y 30, respectivamente, encuentre el término 50 de la sucesión. Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Historia curiosa de Gauss (1777-1855) Estaba Carl Friedrich Gauss allá por el año 1787 en la escuela. En el salón todos los niños empezaron a tirarse papeles, tizas, etc. En ese momento apareció el maestro y ordenó a todos los niños que, como castigo, le sumaran todos los números del 1 al 100. El profesor debió pensar, durante un buen rato me dejarán todos estos mocosos en paz. A los pocos minutos nuestro pequeño genio se levantó del pupitre y entregó la respuesta correcta: 5,050. El profesor debió pensar que había puesto un número al azar y se dispuso a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato y para su sorpresa comprobó que la suma pedida era 5,050. ¿Cómo lo hizo Gauss? Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Solución Gauss tenía que sumar los siguientes números: S = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+95+96+97+98+99+100 Gauss se percató de que si agrupaba los número por parejas, como a continuación obtendría lo siguiente: S = 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99 + 100 + S =100 + 99 + 98 +…+ 3 + 2 + 1 2S =101 +101+101+…+101 +101+101 Tenemos que 2S = 100(101). Dividiendo por 2 obtenemos que S = 50(101) = 5,050. Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Fórmula para serie aritmética La suma de los primeros n términos en una sucesión aritmética con el primer término a1 y el enésimo término an es Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz.

Ejercicio Encuentra los primeros 30 términos de la sucesión 3, 8, 13, 18 … Halla la suma del los primeros 50 términos de la sucesión anterior Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz.

Sucesión geométrica Considera la sucesión obtenida en la segunda situación que resolvimos al comenzar esta presentación. La sucesión era 1, 2, 4, 8, 16,… En la misma se observó que cada término siguiente se puede obtenerse multiplicándole 2 al término anterior. Cuando una sucesión es de esta forma se dice que es geométrica. Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Sucesión geométrica (cont.) Una sucesión se dice que es geométrica si existe una constante r distinta de cero, llamada razón común tal que, Es decir, Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Ejemplos La sucesión 1, 3, 9, 27… es geométrica con r = 3 La sucesión 10, -20, 40, -80… es geométrica con r = -2 Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Fórmula para el enésimo término de una sucesión geométrica Utiliza el hecho de que en una serie geométrica para tratar de desarrollar una fórmula para hallar el enésimo término en una serie aritmética. Puedes utilizar la sucesión 3, 6, 12, 24, … Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Fórmula para el enésimo término de una sucesión geométrica (cont.) está dada por: para todo n > 1 Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Ejemplo Halla el séptimo término de la sucesión geométrica Solución: Como y entonces Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Ejercicio Halla el octavo término de la sucesión geométrica Solución: Como y entonces, Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Fórmula para hallar la suma del enésimo término en una sucesión geométrica finita Considera la siguiente suma Restando ambas ecuaciones obtenemos que,

Ejercicios Halla la suma de los primeros siete términos de la serie 5, -10, 20,… 2) Halla la suma de los primeros cinco términos de la serie 1, 3, 9,… Recuerda que:

Acertijo Si se coloca 1 centavo en el primer cuadro de un tablero de ajedrez, 2 en el segundo, 4 en el tercero y así sucesivamente hasta llegar al cuadrado 64, ¿qué cantidad de dinero habrá en el cuadro 64? ¿Cuánto dinero se necesitará para llenar el tablero? Preparado por: Vanessa Mora Lohlofftz

Suma de una serie geométrica infinita La fórmula para la suma de una serie geométrica finita, dependiendo del valor de r, se puede extender para producir una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita. Específicamente, si la razón común r tiene la propiedad que se puede ver que tiende a cero cuando n tiende a infinito. En consecuencia, cuando

Suma de una serie geométrica infinita (cont.) Si entonces la serie geométrica infinita tiene suma Nota que para que esta fórmula funcione . ¿Qué pasaría si r = 1 ó -1. Ofrece ejemplos de series geométricas en donde y convéncete de que esta suma no es finita.

Ejemplo Instrucciones: Halla las siguiente suma si existe. Solución: En este caso a1 = 5 y Como entonces,

Ejercicios Instrucciones: Halla las siguiente suma si existen. 1) 2)