ANÁLISIS POR ELEMENTOS FINITOS Msc. Ing. Alejandro Vera Lázaro alejandro.v.2007@Hotmail.com

Historia del Análisis de Elementos Finitos El análisis por Elementos Finitos (FEA) se desarrolló por primera vez en 1943 por R. Courant, que utiliza el método de Ritz de análisis numérico y minimización de cálculo variacional. Un artículo publicado en 1956 por MJ Turner, RW Clough, HC Martin, y LJ Topp estableció una definición más amplia de análisis numérico. El documento centrado en la "rigidez y deflexión de estructuras complejas". A principios de los 70, FEA se limita a los ordenadores centrales caros generalmente propiedad de la aeronáutica, automoción, defensa, y las industrias nucleares. Dado que la rápida disminución en el costo de los equipos y el fenomenal aumento en la potencia de cálculo, el FEA ha sido desarrollado para una precisión increíble.

Fundamentos deL Análisis de Elementos Finitos ¿Por qué FEM? El Diseño mecánico moderno implica formas complicadas, a veces fabricados de diferentes materiales. Los ingenieros necesitan usar FEM para evaluar sus diseños.

Aplicaciones del FEA Evaluar la tensión o la temperatura Distribución de esfuerzos en un componente mecánico. Realizar análisis de deflexión. Analizar la cinemática o dinámica. Realizar el análisis de vibraciones.

Fundamentos de Análisis de Elementos Finitos Considere una viga en voladizo como se muestra. El Análisis de elementos finitos se inicia con una aproximación de la región de interés en un número de mallas (elementos triangulares). Cada malla está conectada a los nodos asociados (puntos negros) y por lo tanto se convierte en un elemento finito

Fundamentos de Análisis de Elementos Finitos Después de que se aproxima el objeto por elementos finitos, cada nodo se asocia con las incógnitas por resolver. Para la viga en voladizo los desplazamientos en X e Y serían las incógnitas. Esto implica que cada nodo tiene dos grados de libertad y el proceso de solución tiene que resolver 2n grados de libertad. Una vez que los desplazamientos se han calculado, las variables se derivan por derivadas parciales de la función de desplazamiento y, a continuación las tensiones se calculan a partir de las variables.

Ejemplo - una placa bajo carga Derivar y resolver el sistema de ecuaciones para una placa cargado como se muestra. El espesor de la placa es de 1 cm y la carga aplicada P es constante Usando dos elementos triangulares

Ejemplo - una placa bajo carga Desplazamiento dentro del elemento triangular con tres nodos se puede suponer que ser lineal. u = α1 + α2 x + α3 y v = β1 + β2 x + β3 y

Ejemplo - una placa bajo carga El desplazamiento de cada nodo:

Ejemplo - una placa bajo carga Resolver las ecuaciones simultáneamente para α y β,

Ejemplo - una placa bajo carga Sustituir x1= 0, y1= 0, x2=10, y2= 0, x3= 0, y3=4 para obtener los desplazamientos u y v para el elemento 1. Elemento 1 Calculamos: 2a = 40 a1 = 40, a2 = 0, a3 = 0 b1 = - 4, b2 = 4, b3 = 0 c1 = -10, c2 = 0, c3 = 10

Ejemplo u1 = U1, u2 = U3, u3 = U5, v1 = U2, v2 = U4, v3 = U6 Cambios de notación 2a = 40 a1 = 40, a2 = 0, a3 = 0 b1 = - 4, b2 = 4, b3 = 0 c1 = -10, c2 = 0, c3 = 10 Cálculos: α1 = (1)U1 α2 = -(1/10)U1 + (1/10)U3 α3 = -(1/4) U1+ (1/4) U5 β1 = (1)U2 β2 = -(1/10)U2 + (1/10) U4 β3 = -(1/4) U2+ (1/4) U6

Ejemplo Sustituimos Α y β para obtener desplazamientos u y v para el elemento 1. α1 = (1)U1 α2 = -(1/10)U1 + (1/10)U3 α3 = -(1/4) U1+ (1/4) U5 u = α1 + α2 x + α3 y v = β1 + β2 x + β3 y β1 = (1)U2 β2 = -(1/10)U2 + (1/10) U4 β3 = -(1/4) U2+ (1/4) U6 u1 = U1 + [-1/10(U1) + (1/10) U3] x + [-(1/4) U1+ (1/4) U5 ] y v1 = U2 + [-1/10(U2) + (1/10) U4] x + [-(1/4) U2+ (1/4) U6 ] y Cálculos:

Ejemplo Reescribiendo las ecuaciones en forma de matriz: u1 = U1 + [-1/10(U1) + (1/10) U3]x + [-(1/4) U1+ (1/4) U5 ] y v1= U2 + [-1/10(U2) + (1/10) U4]x + [-(1/4) U2+ (1/4) U6 ] y

EJEMPLO Del mismo modo los desplazamientos dentro de elemento 2 puede ser expresa como

EJEMPLO El siguiente paso es determinar las deformaciones utilizando las relaciones de deformación- desplazamiento 2D,

ejemplo Diferenciar la ecuación de desplazamiento para obtener la deformación u1 = U1 + [-1/10(U1) + (1/10) U3] x + [-(1/4) U1+ (1/4) U5 ] y v1 = U2 + [-1/10(U2) + (1/10) U4] x + [-(1/4) U2+ (1/4) U6 ] y

EJEMPLO

EJEMPLO El uso de las relaciones de tensión-deformación para materiales homogéneos, isotrópicos bajo el plano- esfuerzo-Elasticidad εx = (σx / E ) - ν (εy) - ν (εz) = (σx / E ) - ν (σy / E ) - ν (σz / E ) εy = (σy / E ) - ν (εx) - ν (εz) = (σy / E ) - ν (σx / E ) - ν (σz / E ) εz = (σz / E ) - ν (εx) - ν (εy) = (σz / E ) - ν (σx / E ) - ν (σy / E ) Tenemos:

Formulación del Método de los Elementos Finitos El código de análisis de elementos finitos clásico Las ecuaciones del sistema para sólidos y estructurales problemas mecánicos se obtienen utilizando el principio de desplazamiento y trabajo virtual (Báñese, 1982). El método de residuos ponderados (Método de Galerkin) Los Residuos ponderados se utilizan como un método de formulación de elementos finitos a partir de la ecuación diferencial gobernante. Energía potencial y equilibrio; El Método de Rayleigh-Ritz. Consiste en la construcción del campo de desplazamientos asumido. Utiliza la energía potencial total de un cuerpo elástico

Formulación del Método de los Elementos Finitos f i – Fuerzas externas concentradas f B – Fuerzas de cuerpo f S – Fuerzas de superficie

Formulación del Método de los Elementos Finitos Denotamos los desplazamientos de los puntos (X, Y, Z) de los cuerpos sin carga a través de la configuración UT Los desplazamientos U generan las deformaciones Y los correspondientes esfuerzos El objetivo es calcular LOS DESPLAZAMIENTOS, DEFORMACIONES Y ESFUERZOS a partir de la fuerza externa.

Condición de equilibrio y el principio de los desplazamientos virtuales El lado izquierdo representa el trabajo virtual interno hecho, y el lado derecho representa el trabajo externo realizado por las fuerzas reales a medida que avanzan a través del desplazamiento virtual. La ecuación anterior se utiliza para generar ecuaciones de elementos finitos. Y mediante la aproximación al objeto como un conjunto de elementos finitos discretos, estos elementos están interconectados en los puntos nodales.

La ecuación de equilibrio se puede expresar usando notaciones matriciales de m elementos. Donde: B(m) Representa las filas de las deformaciones de la matriz de desplazamientos C(m) Matriz de elasticidad H(m) Matriz de interpolación de desplazamientos U Vector de desplazamiento global de todos los nodos F Vector de las fuerzas externas concentradas en los nodos

La ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera, La ecuación anterior se describe el problema de equilibrio estático. K es la matriz de rigidez.

Continuando con el ejemplo

Ejemplo Cálculo de la matriz de rigidez para el elemento 2

Ejemplo La rigidez de la estructura en su conjunto se obtiene mediante la combinación de las dos matrices.

La carga vector R, es igual a Rc porque las cargas concentradas sólo actúan en los nodos. K = UR cuando Pyes la fuerza externa conocida y F1x, F1y, F3x, y F3y son las fuerzas de reacción desconocidas del soporte.

Ejemplo K = UR

Ejemplo La solución puede ser obtenida aplicando las condiciones de contorno

Ejemplo La ecuación puede ser dividida en dos partes: La primera ecuación puede resolverse para los desplazamientos nodales desconocidos, U3, U4, U7, y U8. Y sustituyendo estos valores en la segunda ecuación se pueden obtener las fuerzas de reacción desconocidas: F1x, F1y, F3x, y F3y . Una vez que los desplazamientos nodales han sido calculados, se pueden obtener las deformaciones y los esfuerzos calculated.

Análisis de Elementos Finitos FEA es una representación matemática de un sistema físico y la solución de la representación matemática FEA requiere tres pasos: Pre-procesamiento Solución de la Matriz (solucionador) Post-Procesamiento

FEA Pre-Procesamiento Malla Malla es su manera de comunicarse la geometría al solucionador, la precisión de la solución depende principalmente de la calidad de la malla. Cuanto mejor sea la malla , más precisa es la solución. Una malla de buen aspecto debe tener elementos bien formados, y la transición entre las densidades debe ser suave y gradual sin elementos distorsionados .

FEA Pre Procesamiento - Mallado

FEA Pre-Procesamiento Elementos finitos con el apoyo de la mayoría de los códigos de elementos finitos :

PROCESAMIENTO-PIEZA CAD

APLICANDO CARGAS Y RESTRICCIONES

MALLADO DE LA PIEZA

POST-PROCESAMIENTO-ESFUERZOS-VON MISES

DEFORMACIONES

MUCHAS GRACIAS