COORDENADAS EN EL PLANO

COORDENADAS EN EL PLANO- CARTESIANAS Y POLARES PRÁCTICO REFERIDO A : COORDENADAS EN EL PLANO- CARTESIANAS Y POLARES 1-Hallar las coordenadas polares del punto “P” cuyas coordenadas rectangulares son ( 3; - 5). Graficar. P(3; -5) P(3; -5) α 270º ρ ρ= ß= arc. Tg. ß= - 59º02´10,48” ß El ángulo esta en el 4º cuadrante por lo tanto deberá medir mas de 270º. Entonces a 360º le resto el valor obtenido de ß y así tendré el ángulo α. α= 360º- | 59º02´10,48”|= 300º57’50” R: (5,831; 300º57’50”)

CALCULAMOS LAS COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS: Dadas las coordenadas polares de los vértices de un triángulo ABC. Determinar las coordenadas cartesianas de los vértices y calcular, aplicando la fórmula de Herón, el área del mismo. Graficar. Datos: A (2,83; 45º) ; B( 10 ; 53,13º) ; C(11,18; 26,56º) SOLUCIÓN: Para aplicar la fórmula de Heron necesitamos conocer la longitud de los lados Para aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos necesito las coordenadas cartesianas de esos puntos. CALCULAMOS LAS COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS: Punto A (2,83; 45º) X= ρ.cos α Y= ρ.sen α Punto B (10; 53,13º) X= ρ.cos α Y= ρ.sen α Punto C (11,18; 26,56º) X= ρ.cos α Y= ρ.sen α X=10 X= 2,83. cos 45º X= 10. cos 53,13º X=6 X= 11,18. cos 26,56º X=2 y= 11,18. sen 26,56º y= 10. sen 53,13º y= 5 y= 2,83. sen 45º y=2 y=8 A (2;2) B(6;8) C(10;5)

Datos: A (2,83; 45º) ; B( 10 ; 53,13º) ; C(11,18; 26,56º) Dadas las coordenadas polares de los vértices de un triángulo ABC. Determinar las coordenadas cartesianas de los vértices y calcular, aplicando la fórmula de Herón, el área del mismo. Graficar. Datos: A (2,83; 45º) ; B( 10 ; 53,13º) ; C(11,18; 26,56º) 1-Calculo las longitudes de los lados: |AB| = |  (6 –2 )2 + (8-2)2 | = |BC| = |  (10 –6 )2 + (5-8)2 | = 5 |CA| = |  (10 –2 )2 + (5 - 2)2 | = 2-Aplicando la fórmula de Heron resulta:

Vol. Pared perimetral= Sup. Corona circular x altura Para replantear una pileta de planta circular se conocen como datos las coordenadas polares del centro C(3,61; 326°18´36´´) y un punto perteneciente a la circunferencia exterior P( ;303°41´24´´). Calcular: ¿Cuántos m3 tendrá la pared perimetral de la misma si el espesor es de 45 cm y la altura de 2,30 m. Graficar en planta refiriéndose a un sistema de ejes cartesianos. R: 25,355 m3 R1 R2 45 cm C P Solución: Vol. Pared perimetral= Sup. Corona circular x altura Sup. Corona circular = ¶(R2) 2- ¶(R1) 2= Altura=2,3m R2= distancia de P a C R1= R2- 45cm 1- Calculo R2: XC= 3,61XCOS 326º18´36”= 3 YC= 3,61XSEN 326º18´36”= -2 C(3,61; 326°18´36´´) P( ;303°41´24´´). XP= XCOS 303º41´24”=4 YP= XSEN 303º41´24”= -6 C(3;-2) P(4;- 6)

R2= |CP| = |  (4 –3 )2 + (-6-(-2)2 | =4,1231m Para replantear una pileta de planta circular se conocen como datos las coordenadas polares del centro C(3,61; 326°18´36´´) y un punto perteneciente a la circunferencia exterior P( ;303°41´24´´). Calcular: ¿Cuántos m3 tendrá la pared perimetral de la misma si el espesor es de 45 cm y la altura de 2,30 m. Graficar en planta refiriéndose a un sistema de ejes cartesianos. R: 25,355 m3 R1 R2 45 cm C C(3;-2) P(4;- 6) R2= |CP| = |  (4 –3 )2 + (-6-(-2)2 | =4,1231m R1= R2 – 0,45m=4,1231m– 0,45m= 3,6731m Sup. Corona circular = ¶(4,1231) 2- ¶(3,6731) 2=11,021634m2 Vol. Pared perimetral= 11,021634m2x 2,3m= 25,349758m3

. Superficie de lucera= 1,20m x (1/3)AB= 1,2mx(1/3)6,5m= 2,6m ¿Cuál será la superficie de una lucera como la que se ve en el croquis si se conocen las coordenadas de los nudos A y B indicadas en el corte orientado en un sistema de ejes coordenados?. A( 2,5; 36º52´11,63”) B(8,94; 26º33´54,18”) R: Sup: 2,60 m2 1,20 m 1/3 de AB A B 1/3 AB Solución: . Superficie de lucera= 1,20m x (1/3)AB= 1,2mx(1/3)6,5m= 2,6m Necesito el valor de AB, paso esos puntos a coordenadas cartesianas para poder aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos. B: X= 8,94xcos 26º33´54,18”=8 Y= 8,94x sen 26º33´54,18”= 4 A: X= 2,5xcos 36º52´11,63”=2 Y= 2,5 x sen 36º52´11,63”=1,50

¿Cuál será la superficie de una lucera como la que se ve en el croquis si se conocen las coordenadas de los nudos A y B indicadas en el corte orientado en un sistema de ejes coordenados?. A( 2,5; 36º52´11,63”) B(8,94; 26º33´54,18”) 1,20 m 1/3 de AB A B 1/3 AB Solución: A (2; 1,50) B(8;4) |AB| = |  (8 –2 )2 + (4-1,5)2 | =6,5m R: Sup: 2,60 m2

LA RECTA GRAFICACIÓN, INTERSECCIÓN CON EJES COORDENADOS. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE INTERSECCIÓN DE RECTAS. ÁNGULO ENTRE RECTAS. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

y = 4x+6 1- Dada la ecuación y=4x+6 se pide: Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y. Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas. Coordenada del punto de intersección con eje “x”: Para y=0, obtengo intersección con eje “x” 0= 4x+6 X= -6/4= -3/2 y = 4x+6 Coordenada del punto de intersección con eje “y”: Para x=0, obtengo intersección con eje “y” y= 4(0)+6 y=6 Puntos de Intersección: Con eje “x”:(-1,5;0) Con eje “y”(0;6)

y = (1/3)x+2 1- Dada la ecuación y= (1/3)x+2 se pide: Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y. Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas. Coordenada “x” de intersección de la recta con eje “x”: Para y=0, obtengo intersección con eje “x” 0= (1/3)x+2 X= -2.3= - 6 Coordenada “y” de intersección de la recta con eje “y”: Para x=0, obtengo intersección con eje “y” Y= (1/3)(0)+2 Y=2 Puntos de Intersección: Con eje “x” (-6;0) Con eje “y” (0;2) y = (1/3)x+2

y = (-1/2)x –1 1- Dada la ecuación y=(-1/2)x-1 se pide: Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y. Verificar el coeficiente angular. Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas. Puntos de intersección con eje “x”: Para y=0, obtengo intersección con eje “x” 0=( -1/2)x-1 X= 1(-2)= -2 Puntos de intersección con eje “y”: Para x=0, obtengo intersección con eje “y” Y= (1/2)(0)-1 Y=-1 Puntos de Intersección: Con eje “y”(0;-1) Con eje “x”(-2;0) COEFICIENTE ANGULAR: (1/2) y = (-1/2)x –1

Dada la recta de ecuación 4X+ 2Y – 12 = 0 se pide:  Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados. Determinar el valor de en grados, minutos y segundos. SOLUCIÓN: Es conveniente explicitar la ecuación despejando el valor de “y” de la ec. 4x+2y-12=0, se ve que Y= -2x+6 Donde:“a”= -2 ; “b”=6 Intersección de la recta con eje “x” donde “y”=0 0= -2x+6 x=-6/-2=3 Punto int con eje “x” (3;0) Inters. de la recta Con eje “y” donde “x”=0 y= -2(0)+6 Y=6 punto inter. Con eje “y” (0;6) R: 116º33’54” ß α ß=Arc tg (6/3)= 63º26´5,82” α = 180º-63º26´5,82”=116º33’54”

X=3 Dada la ecuación x=3 se pide: Hallar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes coordenados X e Y. Graficar en un sistema de coordenadas cartesianas. Puntos de Intersección: (3;0) X=3

RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE

Hallar la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones, y el ángulo que forma con el eje de las “X”.   Pasa por (0;2) y a = 3 R: Y = 3X+2 = 71º33’54,2” Y= ax+b Y= 3x+2 α= arc. tg.(3/1)= 71º33’54,2” 3 1

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos A( 2; - 3) y B ( 4; 2) , graficarla y hallar la ecuación de la recta y el ángulo α :   a= 5/2 Y= ax+b Reemplazo “a” por su valor. Reemplazo “ x” e “y” por un punto perteneciente a la recta (2;-3), “a”del gráficoy despejo el valor de “b”: Por ejemplo el punto B: 2= (5/2)4+b b=2-(5.4)/2= -8 Y = (5/2)X-8 5 α= arc tg(5/2)=68º11’54,9”  2 R: Y = 5/2X-8 α = 68º11’54,9” 

RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE: Y-Y1= a (X-X1) Y-2,20= 1,20 (X-0) Dado el corte de un techo a dos aguas tal como el que se grafica se pide: -Deducir las ecuaciones de las rectas que pasan por las faldas graficadas. --Graficar a escala. i = 120% Y1 Y2 B 10 2,20 123,69º RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE: Y-Y1= a (X-X1) Y-2,20= 1,20 (X-0) Y= 1,20 X+2,20 Y= -1,50 X+17,20 RECTA POR PUNTO Y PENDIENTE: Y-Y1= a (X-X1) Y-2,20= -1,5 (X-10) Y= -1,50 X+15+2,20 Y= -1,50 X+17,20 Y= 1,20 X+2,20

Hallar la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones: Pasa por ( - 3; 5) y a = -2.Determinar el ángulo que forma con el eje de las “X”.    Pasa por ( - 3; 5) y a = -2 R: Y = -2X-1 α = 116º33’54” Planteamos la ecuación: y-y1=a(x-x1) Reemplazo”x” e”y” por las coordenadas del punto (-3;5): Y-5= (-2)(x-(-3)) Y= -2x-6+5 Y=-2x-1 Y = -2X-1 Otra manera sería: Y= ax+b Reemplazo coordenadas y pendiente: 5= (-2)(-3)+b b= 5-6= -1 luego y= -2x-1 α = 116º33’54” α ß ß=Arc tg (2/1)= 63º26´5,82” α = 180º-63º26´5,82”=116º33’54”

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Dado el siguiente lugar geométrico, (definido por dos puntos que le pertenecen) , se sabe que corresponde a una ecuación lineal o de 1º grado. Se pide ,a partir de los datos, deducir la expresión matemática (forma explícita). Pasa por los puntos P( 0; -1) y Q( 3;0). Graficar los puntos, la recta y hallar la ecuación pedida. Y=ax+b Reemplazo x e y por las coordenadas de un punto perteneciente a la recta: 0=a(3)+b Reemplazo “a” por el valor de la pendiente: a=1/3 y resulta 0=1/3(3)+b b=-1 la ecuación será: Otro camino RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: PARA: Q (X1;Y1) P (X2;Y2) Q(3;0) P(0;-1)

Pasa por los puntos M( 2;0) y N( 0;4) Pasa por los puntos M( 2;0) y N( 0;4). Graficar los puntos, la recta y dar la ecuación. Y=ax+b Reemplazo x e y por las coordenadas de un punto perteneciente a la recta,el M(2;0) : 0=a(2)+b Reemplazo “a” por el valor de la pendiente: a=4/2 y resulta “a” un número negativo por ser el ángulo alfa mayor de 90º 0= -2(2)+b b=4 la ecuación será: RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: PARA: M (X1;Y1) N (X2;Y2) Otro camino

INTERSECCIÓN DE RECTAS PERPENDICULARIDAD

Utilizando el método de igualación: 1,20 X+2,20= -1,50 X+17,20 Calcular analíticamente la altura h de la cumbrera de un techo a dos aguas. El mismo se grafica en corte y referido a un sistema de coordenadas rectangulares. En base a los datos se pide: -Deducir las ecuaciones de las rectas que pasan por las faldas graficadas. -Graficar a escala. i = 120% Y1 Y2 B 10 2,20 123,6900675° Una vez obtenidas las ecuaciones de las rectas busco el punto de intersección entre ellas.Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: Y= 1,20 X+2,20 Y= -1,50 X+17,20 Utilizando el método de igualación: 1,20 X+2,20= -1,50 X+17,20 Despejo el valor de “x” que resulta: X= 5,55 reemplazo en una de las dos ecuaciones de las rectas y obtengo “y”= 8,86. Luego el punto será: Intersección (5,55; 8,86)

verificando intersecciones con los ejes. Calcular ángulos .   Hallar el punto de intersección de las rectas ya e yb . Graficar cada recta verificando intersecciones con los ejes. Calcular ángulos . a) ya = (- 4/3) x + 3 b) yb= (½) x R: Intersección (1,636; 0,818); 1= 126º52’11,6” ; 2= 26º33’54,18” Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: ya =( - 4/3) x + 3 yb= ½ x Utilizando el método de igualación digo ya = yb : (-4/3) x + 3= ½ x Despejo el valor de “x” que resulta: X= 1,636 reemplazo en una de las dos ecuaciones de las rectas y obtengo “y”= 0,818 Luego el punto será: Intersección (1,636; 0,818); ya = (- 4/3) x + 3 yb= (½) x

Gráfico orientativo sin escala 12-Se tienen en un corte a dos techos a dos aguas perpendiculares entre si según la gráfica. Se desea conocer las coordenadas del punto C 2 ( 2; 2) a b C 10 135 º X Y Gráfico orientativo sin escala En primer lugar debemos encontrar las ecuaciones de las rectas “a” y “b” para luego hallar el punto C que es la intersección entre ambas rectas. RECTA “a”: Punto (2;2) Pendiente : -1/tg 135º RECTA “b”: Punto (10;0) Pendiente :tg 135º y-y1= a(x-x1) y-2= -1/tg135(x-2) y= x-2+2 y=x y-y1= a(x-x1) y-2= tg135(x-10) y= -x+10 RECTA “a”: y=x RECTA “b”: y=-x+10

según la gráfica. Se desea conocer las coordenadas del punto C 12-Se tienen en un corte a dos techos a dos aguas perpendiculares entre si según la gráfica. Se desea conocer las coordenadas del punto C 2 ( 2; 2) a b C 10 135 º X Y RECTA “a”: y=x C(5;5) RECTA “b”: y=-x+10 Una vez obtenidas las ecuaciones de las rectas busco el punto de intersección entre ellas.Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: Y= x Y= - X+2 Utilizando el método de igualación: X= -X+10 Despejo el valor de “x” que resulta: X= 5 reemplazo en una de las dos ecuaciones de las rectas y obtengo “y”=5. Luego el punto será: Intersección C(5;5)

ÁNGULO ENTRE RECTAS

8- Hallar el ángulo formado por las rectas y1 = 3/2 x – 1 e y2 = 1/3 x – 2. a- Graficar ambas rectas. Trazar las paralelas a las rectas dadas ( estas paralelas pasarán por el origen del sistema). R: = 37º52’29,94” Ángulo entre rectas: Arc tg(3/2)= 56,31º Arc tg (1/3)= 18,43º 56,31º-18,43º= 37,87º= γ y1 = (3/2) x – 1 Y= (3/2)x ATENCIÓN: La recta “a” es paralela a la recta “c” porque tienen la misma pendiente y2 =( 1/3) x – 2