NÚMEROS Y OPERATORIA CON ENTEROS Nivelación de Matemática Unidad I NÚMEROS Y OPERATORIA CON ENTEROS

EJEMPLO ELEMENTO NEUTRO ¿Qué son los números enteros? Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Operaciones Elementales EJEMPLO ELEMENTO NEUTRO Adición Multiplicación

ELEMENTO INVERSO ELEMENTO NEUTRO ¿Qué son los números enteros? Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Operaciones Elementales ELEMENTO INVERSO ELEMENTO NEUTRO Adición Multiplicación

ELEMENTO INVERSO no es un nº entero ¿Qué son los números enteros? Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Operaciones Elementales ELEMENTO INVERSO Adición Multiplicación no es un nº entero

Problema N° 1 Raúl tiene una deuda de $ 975.400 en su tarjeta de crédito bancaria. El primer mes abona $174.300 , pero una emergencia lo obliga a ocupar nuevamente su tarjeta por un monto de $220.000. ¿Cuál es la nueva deuda de Raúl? Solución Deuda tarjera de crédito: $975.000 Representación: -975.400 Abono a la deuda: $174.300 Representación: +174.300 Uso por emergencia: $220.000 Representación: -220.000 Luego se tiene que la nueva deuda de Raúl es de $ 1.021.100. Luego podemos resolver: -975.400 + 174.300 - 220.000 Lo que resulta: -1.021.100

Problema N° 2 Pedro deja una herencia de $ 63.580.000. La mitad de la herencia le corresponde a su mujer y lo restante, en partes iguales, para sus 11 hijos. ¿Cuánto recibe cada heredero? Solución Lo que corresponde a su señora: 63.580.000:2 = 31.790.000 Lo que corresponde a sus hijos: 31.790.000:11 = 2.890.000 Por lo que su señora recibe $31.790.000 y cada uno de sus hijos $2.890.000

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCM: mínimo común múltiplo El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos 16 16 20 20 2 2 2 :2 = 8 :2 = 10

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCM: mínimo común múltiplo El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. 16 20 2 :2 = 4 8 8 10 10 2 2 2 Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos :2 = 5

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCM: mínimo común múltiplo El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. 16 20 2 8 10 2 No se divide en forma exacta Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos : 5 = 4 4 4 5 5 5 5 5 : 5 = 1

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCM: mínimo común múltiplo El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. 16 20 2 8 10 2 4 4 5 5 5 : = 1 4 4 1 4 4 Se mantiene el último término

MCM: mínimo común múltiplo El MCM de dos o más números enteros es el menor número natural que es múltiplo de ellos Ejemplo: Determinar el (MCM) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla MCM = 16 20 2 2 8 10 2 2 . . . = 80 4 4 5 5 5 5 4 1 4 4 1

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCD: máximo común divisor El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos 16 16 20 20 2 2 2 :2 = 8 :2 = 10

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCD: máximo común divisor El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. 16 20 2 :2 = 4 8 8 10 10 2 2 2 Determinar un número PRIMO que divida a los dos términos :2 = 5

Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: MCD: máximo común divisor El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla Nº primos Números divisibles por uno y si mismos, por ejemplo: 2-3-5-7-11 13-17- etc. 16 20 2 8 10 2 No hay un número PRIMO que divida a los dos términos 4 5 5

MCD: máximo común divisor El MCD de dos o más números enteros es el mayor número natural que es divisor de todos ellos Ejemplo: Determinar el (MCD) de 16 y 20 FORMA: realizando una tabla MCD = 16 20 2 2 8 10 2 2 . = 4 4 4 5 5

Determine el m.c.m Determine el m.c.d Ejercicios Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común divisor Determine el m.c.m A) 3, 4, 10 ,15. Resp: 60. B) 4, 8, 16, 32 Resp: 32. C) 2, 3, 5, 6 Resp: 30. Determine el m.c.d A) 28 , 42 , 56, 70 Resp:14. A) 20, 28, 36, 40 Resp: 4. A) 24, 36, 72 Resp: 12.

Problema N° 3 Un patio de 108 m por 96 m debe cubrirse con cerámicas cuadradas y las mas grandes posibles. ¿Cuál será la dimensión de estas cerámicas si no se quiere romper ninguna? FORMA DOS: Descomposición en factores primos Una forma para resolver el problema es calcular el m.c.d de 96 y 108 96 = 2 ∙ 48 2 ∙ 24 2 ∙ 12 2 ∙ 6 2 ∙ 3 108 m 96 m PATIO 108 = 2 ∙ 54 2 ∙ 27 3 ∙ 9 3 ∙ 3

Ejercicios de Desarrollo N°1 Un patio de 108 m por 96 m debe cubrirse con cerámicas cuadradas y las mas grandes posibles. ¿Cuál será la dimensión de estas cerámicas si no se quiere romper ninguna? FORMA DOS: Descomposición en factores primos Una forma para resolver el problema es calcular el m.c.d de 96 y 108 96 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 3 108 m 96 m PATIO 108 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 3 12 m.c.d = Resp: El tamaño de las cerámicas debe ser de 12m X 12m

Problema N° 4 Los buses a San Antonio salen del terminal cada 24 minutos, los buses a Viña del Mar cada 20 minutos y los buses a Valparaíso cada 10 minutos. Si a las 8:00 horas salen tres buses a esos destinos de la V región, ¿en cuantos minutos más volverán a coincidir en su salida? Solución Debemos calcular el MCM entre 24, 20 y 10. Las salidas de los buses coincidirán en 120 minutos (dos horas), es decir a las 10:00 horas saldrán nuevamente juntos. 24 20 10 2 12 10 5 2 6 5 5 2 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 3 5 5 3 1 5 5 5 1 1

Ejercicios de selección múltiple Andrés ha diseñado un esquema de trabajo para trotar todos los días. Se propone trotar cada día 12 minutos más que el día anterior. Si el primer día comenzó trotando 25 minutos, ¿cuántos minutos trota el sexto día? Presiona alguna Alternativa a) 72 Error b) 73 Error c) 97 Error d) 85 Muy Bien e) 109 Error

a) 5,6°C b) 56°C c) -5,6°C d) 134°C e) 13,4°C N°2: Ejercicios de selección múltiple N°2: En un día de invierno, la temperatura mínima fue de 3,9°C bajo cero y la temperatura máxima 9,5° C ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas de ese día? Presiona alguna Alternativa a) 5,6°C Error b) 56°C Error c) -5,6°C Error d) 134°C Error e) 13,4°C Muy Bien

Ejercicios de selección múltiple Cuatro amigos Luis, Enrique, Víctor y Diego deciden instalar una empresa de comida rápida. Para iniciar un negocio cuentan con un capital inicial de $16.483.200, aportando cada uno la misma cantidad al negocio. Después de dos años de trabajo deciden vender el negocio en $25.928.000 ¿Cuánto dinero ganó cada uno de los amigos con la venta del negocio si se reparten las utilidades en partes iguales? a)$4.120.800 Presiona alguna Alternativa Error b)$2.361.200 Muy Bien c)$6.482.000 Error d)$9.444.800 Error e)$7.083.600 Error

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