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Familia de Circunferencia Eje radical de una circunferencia

Familia de Circunferencia Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias secantes: x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0 x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0 La ecuación de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de esas dos circunferencias secantes es: x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + K( x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2) = 0 ; (K ¹ – 1) Si K= – 1, se tiene la ecuación de la recta que contiene a la cuerda común: (D 1 - D 2) x + (E 1 - E 2) y + F 1 - F 2 = 0

Ejemplo Sean las ecuaciones de las circunferencias secantes: x 2 + y 2 – 6 x – 4 y – 12 = 0; x 2 + y 2 – 4 y – 24 = 0 , la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de las circunferencias anteriormente citadas: x 2 + y 2 – 6 x – 4 y – 12 + K( x 2 + y 2 – 4 y – 24 ) = 0 ( K ¹ – 1 ) Ecuación de la recta que contiene a la cuerda común: x = 2

Eje radical de una circunferencia El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas. El lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias concéntricas es otra circunferencia concéntrica. El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.

Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar uniendo los puntos medios (M en la figura) de los segmentos determinados por los puntos de contacto de las tangentes a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura). Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias. Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias.

Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).

Ejemplo Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias x2 + y2 – 2x - 4y - 20 = 0 y x2 + y2 - 24x + 2y + 129 = 0. Solución: (- 2 + 24)x + (-4 – 2)y – 20 – 129 = 0 o sea: 22x – 6y – 149 = 0.