Geometría Analítica Rectas y cónicas.

RECTAS La recta es una línea que se extiende en una misma dirección por lo tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. 

Sistema de coordenadas rectangulares El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano. Las rectas son llamadas ejes, la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y

PUNTO MEDIO El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. Es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.

Ejemplo Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB A(-1, 3) y B(6, 5). Solución.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. Fórmula::

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7, 5) y B(4, 1)

División DE UN SEGMENTO CON UNA RAZÓN DADA La razón es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuantas veces una contiene a la otra.

Ejemplo ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales? 

PENDIENTE La pendiente es el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta. Si m>0 La función es creciente y el ángulo es agudo Si m<0 La función es decreciente y el ángulo es obtuso

Ejemplo Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2,–3 ) y B(–1 ,5)

ÁREA La expresión de un polígono ocupa una determinada superficie. Llamamos área o superficie de un polígono a la región interior del plano delimitada por sus lados. Forma de resolver.

EJEMPLO Determina el área del siguiente polígono A(3,4),B (-3,2)C(2,-4) y D (8,2).

Ecuaciones de la recta Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ecuación explicita Ecuación punto-pendiente El coeficiente de la x es la pendiente, m y b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY La cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella.

EJEMPLO (Ecuación de la recta que pasa por dos puntos) Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) y - 2 = x - 1 x - y + 1 = 0

Ejemplo(ecuación explicita) Determina la ecuación explícita de la recta cuya ecuación general es   En este caso basta con despejar y

EJEMPLO (Ecuación punto-pendiente) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante y por lo tanto, por mucho que se propaguen nunca se cruzan. En función de sus pendientes, dos rectas serán paralelas si sus pendientes son iguales. Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ángulos de 90º. En función de sus pendientes, dos rectas serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1

Ejemplo (paralelas) Se trazan dos segmentos en un plano, determina si son paralelos sabiendo que sus puntos son:   A(3,4) , B(-6,5), C(8,2), D (-10,4).

EJEMPLO (perpendiculares) Determina si el segmento , cuyos puntos son: A(1,3) B(5,2) es perpendicular al segmento cuyas coordenadas son C(4,4) y D(3,0)

CONICAS Se denomina sección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano.

CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro. 2da ecuación ordinaria 1ra ecuación ordinaria Ecuación de la circunferencia en su forma general

Condiciones DISCRIMINANTE

Ejemplo Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo radio es r=4. X2+y2=r2 X2+y2=42=16 X2+y2=16

ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. 1ra ecuación ordinaria Horizontal Vertical 2da ecuación ordinaria Vertical Horizontal

EJEMPLO Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de la elipse.

PARÁBOLA Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de: un punto fijo (el foco), y una línea fija (la directriz)

1ra ecuación ordinaria

2Da ecuación ordinaria

EJEMPLO Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen: Directriz x = -3, de foco (3, 0). Y2=4(P) X Y2=4(3) X

HIPÉRBOLA Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

1ra ecuación ordinaria

2da ecuación ordinaria

EJEMPLO Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).