Investigación de operaciones Autor: Raymundo Palacios Capítulo 4 Método gráfico

4.1 Introducción El método gráfico es una técnica analítica que soluciona problemas de programación lineal formulados con ecuaciones lineales de primer grado y que contienen un máximo de dos o tres variables de decisión. Sin embargo, no es factible utilizar esta técnica descriptiva para solucionar los problemas que puede enfrentar una organización, ya que para llevar a cabo la elaboración y la comercialización de productos y servicios en un segmento de un mercado real, el modelo determinístico con seguridad estará formulado con más de tres variables de decisión. Por consiguiente, es impráctico e imposible utilizar el método gráfico para solucionar modelos que se diseñan con más de tres variables de decisión.

4.1 Introducción Método gráfico.−Método analítico que permite resolver problemas de programación lineal en un plano cartesiano. Los problemas se formulan por medio de ecuaciones lineales que contienen dos o tres variables de decisión. El problema de PL se resuelve mediante una función objetivo que se debe maximizar (utilidad) o minimizar (tiempo costo), sujeta a restricciones. La solución consiste en graficar las restricciones de manera que se forme una región factible en la cual se buscará una solución que satisfaga todas las restricciones, lo cual se logra encontrando el vértice óptimo cuyas coordenadas nos permitan encontrar la solución óptima; es decir, maximizar o minimizar la función objetivo.

4.1 Introducción Restricciones activas u obligatorias.- Son aquellas que delimitan geométricamente a la región factible. Restricciones redundantes.− Son restricciones que no son necesarias para solucionar un problema de programación lineal, en el sentido de que la región factible es exactamente la misma si incluye o no a estas restricciones. Variables de holgura.- Para una restricción del tipo ≤ la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo de la misma se denomina HOLGURA; para convertir esta desigualdad en igualdad sólo es necesario sumar una variable de holgura no negativa en el lado izquierdo de la restricción.

4.1 Introducción En el método gráfico, la solución óptima se descubre seleccionando los vértices que conforman al polígono que delimita a la región factible, trazando la recta de la función objetivo consecutivamente por cada vértice, y luego desplazando la recta paralelamente, sustituyendo las coordenadas de cada uno de los vértices de la región factible en la función objetivo, para obtener la optimización de la función objetivo, ya sea maximizando o minimizando su valor. El vértice que suministre el valor óptimo (máximo o mínimo) representa la solución óptima.

4.3 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO Retomemos el problema de la alimentación recomendada para un caballo lusitano durante tres meses (con maíz, trigo y sorgo mezclando dos costales que contienen diversas cantidades de estos alimentos en diferentes proporciones) que se presenta en el capítulo 3. El objetivo es minimizar los costos. La cantidad de alimentos que deberá comprar durante los tres meses se encuentra estimada en la tabla 3.3. Al dueño le cuesta $30 pesos el costal X y $40 pesos el costal Y ¿Cuántos costales puede comprar de X y Y al menor costo posible?

4.3 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO El problema de PL queda planteado como sigue: Minimizar Z = 30X + 40Y Sujeto a: 4X ≥ 12 Cantidad de maíz 3Y ≥ 6 Cantidad de trigo X + 1.5Y ≤ 9 Cantidad de sorgo donde X, Y ≥ 0

4.3 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO Solución del modelo Para resolver el problema, se encuentran valores para las variables de decisión que satisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo, proporcionen el valor óptimo para la función objetivo Grafiquemos cada una de las restricciones, considerando las desigualdades disponibles como ecuaciones en forma de igualdades, excepto las restricciones de no negatividad: 4X = 12; X = 3 3Y = 6; Y = 2 X + 1.5Y = 9

4.3 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO Se obtiene una región factible o semiplano factible, determinado por el triángulo rectángulo cuyos vértices son los puntos O, P y Q y que se muestra a continuación: P (3, 4) O (3, 2) Q (6, 2)

4.3 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO En la siguiente tabla se muestra la obtención de la solución óptima (minimizar el costo) para la función objetivo 30X + 40Y = Z : Por lo tanto, el vértice buscado es O (3,2), lo que significa que la solución óptima es mezclar 3 costales de X con 2 costales de Y. Si sustituimos estos valores en la función objetivo 30 X + 40 Y = Z obtenemos el costo mínimo de 30(3) + 40(2) = 170 pesos. Vértice (X, Y) Resultado Evaluación O (3, 2) 30(3) + 40(2) = 170 Solución óptima P (3, 4) 30(3) + 40(4) = 250 Solución factible Q (6, 2) 30(6) + 40(2) = 260

4.4 MODELOS GRÁFICOS ACOTADOS, NO ACOTADOS Y NO FACTIBLES Todo problema de programación lineal queda clasificado en alguna de las siguientes situaciones que no se traslapan: Primer caso: El problema tiene una solución óptima. Segundo caso: El problema carece de una solución óptima porque es no acotado. Tercer caso: El problema carece de solución óptima porque es no factible. En la práctica, un programa lineal correctamente formulado siempre tiene una solución óptima. Cuando un problema se encuentra mal formulado o cuando existen errores al capturar los datos del problema en un software, siempre se incurre en los casos 2 y 3.

4.4 MODELOS GRÁFICOS ACOTADOS, NO ACOTADOS Y NO FACTIBLES Se denomina modelo gráfico acotado en una figura geométrica con solución única a un problema que está delimitado por un área factible, en el cual la función objetivo adopta sólo un valor óptimo en uno de los vértices de la región factible. Si la función objetivo es paralela a una de las restricciones, entonces a este problema se le denomina modelo gráfico acotado en una recta con solución única que se encuentra restringido por un área factible en la cual la función objetivo alcanza sólo un valor óptimo en uno de los vértices.

MODELO GRÁFICO ACOTADO EN UNA FIGURA GEOMÉTRICA CON SOLUCIONES MÚLTIPLES Se denomina modelo gráfico acotado en una figura geométrica con soluciones múltiples a un problema que se encuentra restringido bajo un área factible en la cual la función objetivo alcanza infinitos valores óptimos que corresponden a los puntos del segmento situado entre dos vértices de la región factible (véase la figura 4.19). En estos casos la función objetivo es paralela a una de las restricciones.

MODELO GRÁFICO NO ACOTADO SIN SOLUCIÓN Se denomina modelo gráfico no acotado sin solución a un problema que se encuentra restringido bajo un área factible no acotada, donde la función objetivo toma infinitos valores sin llegar a una solución específica y por consiguiente no óptima. Estos tipos de modelos no acotados son “patológicos”. Tal vez el modelo fue mal formulado debido a que no se incluyó una o varias restricciones importantes, o tal vez a causa de errores al capturar los datos en un programa de software.

MODELO GRÁFICO NO FACTIBLE SIN SOLUCIÓN Se denomina modelo gráfico no factible sin solución a un problema que es inconsistente en sus restricciones; es decir, el modelo carece de una combinación de valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las restricciones. La infactibilidad depende solamente de las restricciones y no tiene nada que ver con la función objetivo.