Continuidad y Derivabilidad MATEMÁTICAS-II (2º de Bachillerato) IES “LÓPEZ-NEYRA” (CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Continuidad y Derivabilidad

LÍMITES DE FUNCIONES - I FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.- Se llama función real de variable real a toda función definida en un subconjunto D de los números reales en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y solo un elemento y de R: Normalmente se simboliza y=f(x), donde “x” es la variable independiente e “y” es la variable dependiente. Los valores que puede tomar x forman un conjunto denominado DOMINIO o conjunto inicial (D) de la función. Mientras que los valores que puede tomar y forman el conjunto llamado RECORRIDO o conjunto final (R).   REPASAREMOS posteriormente el dominio de funciones polinómicas, racionales, raíz de un polinomio, logaritmo de un polinomio y exponencial de exponente polinómica.

LÍMITES DE FUNCIONES - II LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. LÍMITES LATERALES- Una función f(x) tiene límite L en un punto x=a, cuando podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos, sin más que darle a x valores suficientemente próximo al valor a, pero distinto de a. Se expresa: EJEMPLOS Ejemplo-1.- Veamos que le ocurre a la función cuando x se acerca (“tiende”) a x=2. x<2 1 1´5 1´9 1´99 1´999 x=2 x>2 3 2´5 2´1 2´01 2´001 f(x) 0´25 10-2 10-4 10-5 Por otro lado, cuando x se aproxima a 2 por la izquierda (x2-), los valores de la función tienden también a 0. Como vemos, cuando x se aproxima a 2 por la derecha (x2+) los valores de la función tienden a =0. Se llaman límites laterales

LÍMITES DE FUNCIONES - III EJEMPLOS (…) Para que exista el límite total deben existir los límites laterales y coincidir, por tanto en nuestro ejemplo, existe el límite en x=2, y su valor es 0: Gráficamente:

LÍMITES DE FUNCIONES - IV EJEMPLOS (…) Ejemplo-2.- Veamos un segundo ejemplo con la función ¿Qué ocurre ahora cuando nos acercamos a cero? (ver gráfica) Si hacemos igual que antes, es decir damos valores por la izquierda: Y por la derecha: En este caso no existe el límite total, ya que aunque existen los límites laterales, éstos no coinciden.

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES.- LÍMITES DE FUNCIONES - V OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES.-

LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO.- LÍMITES DE FUNCIONES - VI LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO.- Cuando hablamos de límites es frecuente que aparezcan dos casos: a) Que el resultado del límite sea más infinito o menos infinito (límites infinitos). Veamos varios ejemplos: Luego b) Que el valor al que tiende la variable x sea más infinito o menos infinito (límites en el infinito).

LÍMITES DE FUNCIONES - VII EJERCICIOS.-

LÍMITES DE FUNCIONES - VIII INDETERMINACIONES.- En el cálculo de límites hay casos en los que no se pueden aplicar directamente las propiedades anteriores, son las llamadas indeterminaciones, veamos los casos principales: En este caso calculamos los límites laterales: Si son iguales, la función tiene por límites + o - Si son distintos, la función no tiene límite Se resuelve: Factorizando si son funciones racionales (polinomio partido por otro). Multiplicando arriba y abajo por el conjugado si son funciones con radicales. Posteriormente se simplifica. Ejercicios: Pág. 222 todos los ® y el 3-a. (No usar L´Hôpital) Ejercicios: Pág. 224 el 4®. (No usar L´Hôpital)

LÍMITES DE FUNCIONES - IX (Explicar el cambio de variable) Se resuelve: Dividiendo numerador y denominador entre “x” elevada a la máxima potencia que aparece en la función. Se resuelve: Multiplicando y dividiendo por el conjugado la expresión que tenemos. Ejercicios: Pág. 219 el 1-a ® y 1-d ®. (Explicar el cambio de variable) Ejercicios: Pág. 215 el 2-d. Ejercicios: Pág. 214 y 215 algunos de los ®.

LÍMITES DE FUNCIONES - X Se resuelve: usando la expresión general: Ejercicios: Pág. 221 el 1 ®. Ejercicios: Pág. 216 el 4-a-b-d-e. Ejercicios: Pág. 217 el 5-a-b.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - I Idea intuitiva.- Una función es continua en un punto cuando a pequeñas variaciones de la variable independiente (x) corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente (y).   Definición.- Una función y=f(x) es continua en un punto x=a si cumple las siguientes condiciones: Cuando alguna de estas condiciones no se cumplen, diremos que la función es discontinua en x=a.   Una función se dice que es continua en un intervalo, cuando es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Cuando el intervalo coincide con el propio dominio se dice que la función es continua.   EJEMPLO.- Estudiemos la continuidad en xo=0 de la función: h Ejercicios: Pág. 234 el 16, 17-a y 18.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - II TIPOS DE DISCONTINUIDADES V I T A B L TIPOS DE DISCONTINUIDADES 1ª E S P E C I E N O E V I T A B L 2ª E S P E C I E

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - III Ejemplo-1: Ejemplo-2: Ejemplo-3: Ejercicios: Pág. 236 el 40. Ejercicios: Pág. 234 el 19-b-c y 21. Ejercicios: Pág. 235 el 25, 36 y 38 –algunos-.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN – IV TEOREMA DE BOLZANO.-   Dicho con palabras: Si una función continúa en un intervalo cerrado, tiene distintos signos en sus extremos, entonces existe un valor “c” incluido en el intervalo antes mencionado de tal forma que el valor de la función en “c” sea cero. Gráficamente:   Ejercicios: Pág. 236 el 44, 47 y 49-a-b y c.

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN – I DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.- Definición.- Dada una función y=f(x) y un punto x=a, se define la derivada de la función f(x) en el punto x=a, y se designa f´(a), como el valor del siguiente límite: Por comodidad a la hora de hacer los cálculos se suele definir h=x-a. De esta forma el límite queda: Gráficamente:

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN – II DERIVADA LATERALES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.- Como hemos visto la derivada se define a través de un límite, por lo tanto, para que exista la derivada (o el límite) deben existir los límites laterales, a dichos límites se les llama derivadas laterales: Una función f(x) es derivable en x=a cuando existen sus derivadas laterales en dicho punto, y ambas coinciden.

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN – III

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN – IV RELACIÓN ENTRE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.- Se puede demostrar que: Toda función derivable es también continua.   Una función continua no siempre es derivable.   Para que una función sea derivable antes debe ser continua.   NOTA.- Si una función no es continua no es derivable.   FUNCIÓN DERIVADA.-   Definición.- Cuando una función es derivable en su dominio D, podemos definir una nueva función f´(x), que llamamos función derivada, y que asocia a cada valor x del dominio la derivada en dicho punto. De la misma forma se pueden calcular la función 2ª derivada f´´(x), función 3ª derivada f´´´(x), etc...

Pág. 246 y 247 el 1®, -algunos- del 1, 2-c, 3, 4 y 5. Ejercicios: Pág. 263 el 14-a, 15-a, 17-a, 23-a, 26-b y 27-b. Ejercicios: Pág. 243 el 4 y 7. Ejercicios: Pág. 246 y 247 el 1®, -algunos- del 1, 2-c, 3, 4 y 5.

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN – V DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.- Veamos un ejemplo con la función   Seguiremos tres pasos: 1º) Tomamos logaritmos en los dos miembros 2º) Aplicamos la propiedad del logaritmo de una la potencia: 3º) Derivamos y despejamos: DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA.- Hasta ahora, en las funciones que hemos visto, la variable dependiente (y) aparece despejada. Pero también existen otras funciones donde esto no ocurre, son las llamadas funciones implícitas, su forma es . Veamos cómo se derivan, mediante este ejemplo: Ej.: Sea la función (representa la ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio 3), derivamos cada uno de sus miembros: Ejercicios: Pág. 266 el 59. Ejercicios: Pág. 265 el 41, 42, 43, 44, 51 y 53. Ejercicios: Pág. 264 el 30-a-d-e. Ejercicios: Pág. 264 el 29-a-b-c-e. Observemos que la derivada viene dada en función de X y de Y.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – I INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.- La derivada de una función f(x) en un punto x=a, coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. f(x)=4-x2 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO.- Dada la función y=f(x), las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto x=a, son:

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – II Ejercicios: Pág. 293 el 1-a-c, 2 y 3-b. Ejercicios: Pág. 270 el 1®. Ejercicios: Pág. 271 el 1-a.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – III CRECIMIENTO DECRECIMIENTO CONSTANTE Una función es creciente en un intervalo (a,b) cuando para todo par de puntos: Una función es decreciente en un intervalo (a,b) cuando para todo par de puntos: Una función es constante en un intervalo (a,b) cuando para todo par de punto de ese intervalo la función no varía, es decir: Ejercicios: Pág. 272 el 2. f (x1) = f (x2) = cte.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – IV Como sabemos, la derivada de una función f(x) en un punto x=a, coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Observando la siguiente gráfica, sacamos las siguientes conclusiones: MÁXIMOS MÍNIMOS f´´(b)<0 f´(b)=0 Además se puede demostrar que: f´(a)=0 f´´(a)>0 Cuando una función tiene varios máximos relativos, al mayor de todos se le llama máximo absoluto de la función. Ejercicios: Pág. 293 el 11-c. Cuando una función tiene varios mínimos relativos, al menor de todos se le llama mínimo absoluto de la función.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – V CONVEXIDAD CONCAVIDAD Dada una función y = f(x), derivable en un intervalo (a , b): Criterio que seguimos Ejercicios: Pág. 275 el 1.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – VI PUNTO DE INFLEXIÓN.- Es el punto donde la función cambia de cóncava a convexa, o viceversa. En estos casos la tangente atraviesa la curva. PUNTO INFLEXIÓN Se puede demostrar que para que exista un Punto de Inflexión en x=a, debe cumplir: f´(a)=f´´(a)=0, siendo f´´´(a) ≠ 0 Ejercicios: Pág. 293 el 12-d-f.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – VII OPTIMIZACIÓN.- Existen muchas situaciones en las que es conveniente optimizar una función (maximizar o minimizar). Para ello se suelen seguir los siguientes pasos:   Ejercicios: Pág. 234 el 14-d-f-i-l –dar soluciones de los demás-. Ejercicios: Hojas Selectividad, hoja 2 de limites, el 2, 4 y 6. Ejercicios: Pág. 294 el 18, 23, 24, 25 y 26. Ejercicios: Pág. 224 el 1 ®, 2 ®, 3 ® y 4 ®. Ejercicios: Pág. 225 el 6 ® y 7 ®. Se determina la función que se va a optimizar. Se expresa en función de una sola variable. Se calculan los máximos y mínimos de la función.   Se interpretan los datos en el contexto del problema.   REGLA DE L´HôPITAL.- Dice que, los límites del tipo , que dan lugar a indeterminaciones del tipo , pueden obtenerse derivando numerador y denominador y calculando (si existe) el límite del cociente de sus derivadas, es decir: Ejercicios: Pág. 277 el 2 ®, 1, 2 y 4.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS – VIII DOS TEOREMAS IMPORTANTES Teorema de Rolle Teorema del valor medio

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES – I Para representar una función es necesario conocer una serie de información referente a ella. Veamos cuales son los distintos apartados que se suelen estudiar:   1.- DOMINIO.- Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de una función. Se simboliza con D. Veamos cual es el dominio de las siguientes funciones:

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES – II 2.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES.- Dos tipos:    Con el eje X:  y=0 Con el eje Y: x=0   Ejemplo: Calcular los puntos de corte de la función f(x)=x2-3 . 3.- REGIONES DEL PLANO DONDE EXISTE LA FUNCIÓN.- Consiste en saber que regiones del plano ocupa nuestra función, para ello, estudiamos el signo en cada uno de los intervalos que forman los puntos de corte en el eje X.  

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES – III 4.- SIMETRIAS.- Las funciones pueden presentar dos tipos de simetrías:    Simetría respecto al eje OY: f(x)=f(-x) . Se llama función PAR. Simetría respecto al origen: f(x)=-f(-x) . Se llama función IMPAR.   Ejemplos: f(x)=x2 (par) y f(x)=x3 (impar) 5.- PERIODICIDAD.- Una función es periódica cuando cumple f(x)=f(x +T), donde T se llama periodo de la función.   Ejemplos: Ejercicios: Pág. 321 el 6-b. Ejercicios: Pág. 302 el 3-b-c-d –no perioricidad-

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES – IV 6.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.- El proceso es el mismo que el seguido con las regiones del plano donde existe la función, pero ahora con la función primera derivada. 7.- PUNTOS DE INFLEXIÓN: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.- Nuevamente se repite el proceso anterior pero con la función segunda derivada. 8.- ASÍNTOTAS.- Son rectas a las que se acerca la función sin llegar nunca a tocarla. Pueden ser de tres tipos: 

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES – V EJEMPLO.- Dibujar la gráfica de la función siguiente, estudiando cada uno de los apartados vistos anteriormente. Solución: Ejercicios: Pág. 322 el 21-d y 22-a. Ejercicios: Pág. 321 el 4. Ejercicios: Pág. 314 el 4 ®. Ejercicios: Pág. 315 el 1 ®. Ejercicios: Pág. 312 el 1 ®. Ejercicios: Pág. 310 el 1 ®. Ejercicios: Pág. 311 el 1-a. Ejercicios: Pág. 313 el 2 ®.