TEMA 5: PROBABILIDAD La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad

TEMA 5: PROBABILIDAD 1.- Experimentos aleatorios. Espacios muestrales 2.- Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos: 2.1.-Sucesos elementales 2.2.-Suceso seguro 2.3.-Suceso imposible 2.4.-Suceso contrario 2.5.-suceso compatible e incompatible 3.-Operaciones con sucesos: 3.1.-Unión de sucesos 3.2.-Intersección de sucesos 3.3.-Diferencia de sucesos 4.-Leyes de Morgan 5.-Regla de La Place 6.-Definición axiomática de probabilidad 7.-Probabilidad condicionada.Sucesos dependientes e independientes 8.- Teorema de la probabilidad total 9.-Teorema de Bayes

1. Experimentos aleatorios. Espacios muestrales. Experimento aleatorio: Es cualquier acción o proceso que no se tiene certeza de su resultado final hasta que no se ejecute. Puede repetirse un número ilimitado de veces bajo las mismas condiciones, es posible conocer por adelantado todos los posibles resultados y no puede predecirse un resultado en una realización particular del experimento. El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar el experimento, se representa como S = {1,2,3,4,5,6}

2. Sucesos aleatorios. Tipos. Un suceso aleatorio es un subconjunto del espacio muestral, esto es, un conjunto de resultados posibles del experimento aleatorio. 2.1. Suceso elemental: Está formado por un único elemento del espacio muestral. 2.2. Suceso seguro: Está formado por todos los resultados posibles, todo el espacio muestral entendido como un suceso aleatorio. Se representa con la letra griega omega. 2.3. Suceso imposible: Está formado por ningún resultado, es el conjunto vacio. 2.4. Suceso contrario: Es otro suceso que se realiza cuando no se realiza el primero. 2.5. Suceso compatible e incompatible: Dos sucesos son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común y son incompatibles cuando no tienen ningún elemento común.

3. Operaciones con sucesos. 3.1. La unión de sucesos, es el suceso formado por todos los elementos de dos conjuntos. Sus propiedades son: Conmutativa: A U B = B U A siendo U (unión) Asociativa: A U (B U C) = (A U B)U C Idempotente: A U A= A Simplificación: A U (A B ) = A 3.2. Intersección de sucesos: Es el suceso formado por todos los elementos que son a la vez de dos elementos. 3.3. Diferencia de sucesos: La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

4. Leyes de Morgan

5. Regla de la Place Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay N sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso la probabilidad de que ocurra el suceso A es: P( A)= número de casos favorables a A número de casos posibles

6.Definición axiomática de probabilidad Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. 1º axioma: 2º axioma: 3º axioma: P(A1 U A2 U …) = E P(Ai )

7.Probabilidad condicionada Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E, se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P (B/A)a la probabilidad del suceso B una vez a ocurrido el A P( B/ A) = P(A U B) p (A) Dos sucesos se dice que son independientes si la presencia de uno no influye en la probabilidad del otro en el caso contrario son dependientes. A y B independientes si P(B/A) = P (B) A y B dependientes si P (A U B) = P (A) x P (B)

8. Teorema de la probabilidad total Si A 1, A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An

8. Teorema de la probabilidad total Si A 1, A 2 ,... , A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An

9. Teorema de Bayes Si A 1, A 2 ,... , An son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que : Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.