Sección 6.2 HOFFMANN Octava Edición INTEGRALES IMPROPIAS Y APLICACIONES GEOMETRICAS Y A LA ECONOMIA (VALOR FUTURO DE UN FLUJO PERPETUO Y CONTINUO DE DINERO). Sección 6.2 HOFFMANN Octava Edición

PROBLEMA DEL AREA BAJO UNA CURVA DE UNA REGIÓN INFINITA ¿Cómo determinar el área de una región infinita? Resp: A través de aproximaciones ... con áreas rectangulares… y a … Y=f(x) A(RN) = ?? y Y=f(x) A(R) = ?? x a N x

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO I Definición: Si f(x) es una función continua para toda x  a, entonces Si el límite existe, se dice que la integral impropia converge al valor del límite. Si no existe el limite, se dice que la integral impropia diverge. Nota: Cuando f(x)  0, pata toda x  a, se interpreta geométricamente la integral impropia como el área de la región infinita R bajo la curva y = f(x) sobre el intervalo [a,+∞).

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO II Definición(1): Si f(x) es una función continua para toda x > a, excepto x = a , donde entonces Si el límite existe, se dice que la integral impropia converge al valor del límite. Si no existe el limite, se dice que la integral impropia diverge. Nota: De forma análoga se definen la integrales impropias: (2) La discontinuidad infinita ocurre en x = b : (3) La discontinuidad infinita ocurre en x = c dentro del intervalo [a,b]:

INTEGRALES IMPROPIAS TIPO MIXTO Definición(1): Si f(x) es una función continua para toda x > a, excepto x = a, donde entonces

EJEMPLOS(1): diverge converge diverge EVALÚE LAS SIGUIENTES INTEGRALES IMPROPIAS O DEMUESTRE QUE DIVERGE: diverge converge diverge

EJEMPLOS (2): Obsérvese que Pero ademas notese que EVALÚE LA SIGUIENTE INTEGRAL IMPROPIA O DEMUESTRE QUE DIVERGE: CON plR. Obsérvese que Pero ademas notese que De manera que el exponente “p” es relevante para saber si converge o diverge. Hagalo ud.!!!

Sección 5.5 y 6.2 HOFFMANN Octava Edición APLICACIONES ADICIONALES DE NEGOCIOS Y ECONOMIA (VALOR FUTURO DE UN FLUJO CONTINUO DE DINERO DURANTE UN PERIODO ESPECIFICO pag. 415-418 ). Sección 5.5 y 6.2 HOFFMANN Octava Edición

Valor Futuro y Valor Presente de un Flujo Continuo de Ingresos (Definiciones) : Definición (1): Suponga que se transfiere un dinero continuamente a una cuenta durante un periodo de tiempo 0 t  T, a una tasa dada por la función f(t), y que la cuenta gana intereses a una tasa anual r, capitalizada continua-mente. Entonces el valor futuro, VF, del flujo de ingreso después de T años está dado por la integral definida: Definición (2): El valor Presente , VP, de un flujo de ingresos que se deposita continuamente a la tasa f(t) en una cuenta que gana intereses a una tasa r capitalizada continuamente, durante un plazo de T años, está dado por:

Ejemplos (1): (ej.27 pág.424. 8va ed.): A la edad de 25 años, Tom empieza a depositar anualmente $2500 en una cuenta individual de retiro que paga interés a una tasa anual de 5% capitalizado continuamente. Suponiendo que sus pagos se hacen como un flujo continuo de ingresos, ¿cuanto dinero habrá en su cuenta si se jubila a la edad de 60 años? ¿cuanto habrá si se jubila a la edad de 65 años? Sol.(1): Ver la pizarra! Usaremos T = duración del período (en anos) Un flujo de ingresos a una tasa de f(t) =2500 $ /año, depositado durante un término de T años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r=5% capitalizada continuamente, tiene un valor futuro dado por: (T = 60 - 25 =35 anos)

Ej.(1): (ej.27 pág.424. 8va ed.): A la edad de 25 años, Tom empieza a depositar anualmente $2500 en una cuenta individual de retiro que paga interés a una tasa anual de 5% capitalizado continuamente. Suponiendo que sus pagos se hacen como un flujo continuo de ingresos, ¿cuanto dinero habrá en su cuenta si se jubila a la edad de 60 años? ¿cuanto habrá si se jubila a la edad de 65 años? Sol.(1): Ver la pizarra! Usaremos Sol.: Un flujo de ingresos a una tasa de f(t) =2500 $ /año, depositado durante un término de T años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r = 5% capitalizada continuamente, tiene un valor futuro dado por:

Ejemplos (2): (ej.30 pág.424. 8va ed.): El gerente de una cadena nacional de comida rápida está vendiendo una franquicia de 10 años en Cleveland, Ohio. La experiencia pasada en localidades similares sugiere que dentro de t años la franquicia generará ingresos a una tasa de f(t) = 10.000 dólares por año. Si la tas de interés anual prevaleciente permanece fija a 4% capitalizada continuamente, ¿cuál es el valor presente de la franquicia? Sol.(2): Ver la pizarra! Usaremos

Solución del Ejemplo (2): (ej.30 pág.424. 8va ed.): El gerente está vendiendo una franquicia de 10 años. Se sabe que dentro de t años la franquicia generará ingresos a una tasa de f(t) = 10.000 dólares por año. Además, la tasa de interés anual permanece fija a 4% capitalizada continuamente, ¿cuál es el valor presente de la franquicia? Sol.(2): Ver la pizarra! Usaremos Sol: Un flujo de ingresos a una tasa de f(t) =10.000 $ /año, depositado durante un término de T=10 años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r = 4% capitalizada continuamente, tiene un valor presente dado por: “El valor presente de la franquicia es de 82.419,99 dólares”.

Ejemplo (3): (ej.5.5.3 pág.417. 8va ed.): Jane trata de decidir entre dos inversiones. La primera cuesta $1.000 y se espera que genere un flujo continuo de ingresos a una tasa de f1(t) = 3.000.e(0,03.t) dólares por año. La segunda inversión cuesta $4.000 y se estima genere ingresos a una tasa constante de f2(t) = 4.000 dólares por año. Si la tasa de interés anual permanece fija a 5 % capitalizado continuamente durante los proximos 5 años, ¿cuál inversión generará más ingreso neto durante este periodo? Sol.(3): Ingreso neto (actual)= VP – costo inicial. T = 5 (Periodo en años); r = 0.05 (tasa de inversión anual) 1era. Inversión: Ingreso neto = VP – costo inicial 2da. Inversión: Ingreso neto = VP – costo inicial La 2da inversión genera más ingreso neto durante este periodo que la primera inversión, entonces es mejor inversión.

Ejemplo (4): (ej.32 pág.425. 8va ed.): Kevin gasta $4000 en una inversión que genera un flujo continuo de ingresos a una tasa f1(t) = 3000 dólares por año. Su amiga Molly hace una inversión distinta que también genera ingresos continuamente, pero a una tasa de f2(t) = 2000.e(0,04.t) dólares por año. La pareja descubre que sus inversiones generan exactamente los mismos ingresos netos durante un periodo de 4 años. Si la tasa anual prevaleciente permanece fija a 5% capitalizado continuamente, ¿cuánto pago Molly por su inversión? Sol.(3): (Para estudiar en casa !!!)

Solución del Ejemplo (4): Kevin gasta $4000 en una inversión que genera un flujo continuo de ingresos a una tasa f1(t) = 3000 dólares por año. Su amiga Molly hace una inversión distinta que también genera ingresos continuamente, pero a una tasa de f2(t) = 2000.e(0,04.t) dólares por año. La pareja descubre que sus inversiones generan exactamente los mismos ingresos netos durante un periodo de 4 años. Si la tasa anual prevaleciente permanece fija a 5% capitalizado continuamente, cuanto pago Molly por su inversión? Sol.(5): usando que: Ingreso neto = V. P. – costo de inversión Inversión 1: Ingreso neto = Valor – costo inicial = Inversión 1 Presente 1 inversión 1 Inversión 2: Ingreso neto = Valor – costo inicial = Inversión 2 Presente 2 inversión 2

Solución del Ejemplo (4): (Continuación): La pareja descubre que sus inversiones generan exactamente los mismos ingresos netos durante un periodo de 4 años. Sol.: esto es, Ingreso neto inversión 1 = Ingreso neto inversión 2 “Molly pagó inicialmente por su inversión 10.654,04 dólares aproximadamente”.

Sección 6.2 (pág. 464) HOFFMANN Octava Edición * Aplicaciones De Las Integrales Impropias A La Economía (Valor Presente de Una Inversión que genera ingresos perpetuos). Sección 6.2 (pág. 464) HOFFMANN Octava Edición

Valor Presente De Un Flujo Perpetuo De Ingresos: Ej. (5): Un donante desea otorgar una beca a un colegio local con un regalo que proporcione un flujo continuo de ingresos a razón de 25000 + 1200.t dólares por año a perpetuidad. Suponiendo que la tasa prevaleciente de interés anual permanezca fija a 5 % capitalizada continuamente, ¿qué cantidad se requiere para financiar la donación? Sol: Un flujo de ingresos f(t) depositado durante un término de T años, en una cuenta que gana intereses a una tasa anual r% capitalizada continuamente, tiene valor presente dado por:

Solución Del Ejemplo (5): (continuación) Un donante desea otorgar una beca a un colegio local con un regalo que proporcione un flujo continuo de ingresos a razón de 25000 + 1200.t dólares por año a perpetuidad. Suponiendo que la tasa prevaleciente de interés anual permanezca fija a 5 % capitalizada continuamente, ¿qué cantidad se requiere para financiar la donación? Sol.: Sin embargo, el valor presente a perpetuidad, Se busca el limite cuando T  +∞; esto es, se calcula la integral impropia: Por lo tanto, la Beca se establece con una donación de $ 980.000.

PENSAMIENTO “Saber qué es lo correcto y no hacerlo es la peor cobardía” “Sólo la practica continua de lo que se aprende, permite fijar adecuadamente el conocimiento adquirido y lo hace duradero” Anónimo. CONFUCIO

Ejercicios: (para hacerlos en casa!!!) Valor Futuro y Valor Presente de un flujo de Ingresos Ejercicio(1): (ej.1 pág.432. 6ta ed.): Se deposita dinero continuamente en una cuenta a una razón constante de $ 2400 por año. La cuenta genera interés a una tasa anual del 6 % capitalizado continuamente. ¿cuanto dinero habrá en la cuenta al cabo de 5 años? Ver respuesta en el libro texto !! Ejercicio(2): (ej.4 pág.433. 6ta ed.): La gerencia de una cadena nacional de pizzerías está vendiendo una franquicia de 6 años para su nuevo punto de venta en Orlando, Florida. La experiencia previa en negocios similares señala que dentro de t años la franquicia generará utilidades a una razón de f(t) = 10.000 +500.t dólares por año. Si la tasa de interés predominante permanece fija en 6% capitalizado continuamente durante los próximos 6 años ¿cuál es el valor presente de la franquicia?