Investigación de Operaciones ver en http://www. inf. utfsm Investigación de Operaciones ver en http://www.inf.utfsm.cl/~ccastro/ Teaching Activities 2006

El problema Los recursos son escasos Los sistemas son cada vez más complejos Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de forma eficiente

¿Qué es la Investigación de Operaciones? Definición (Lawrence y Pasternak, 1998) Un enfoque científico para la toma de decisiones ejecutivas, que consiste en: El arte de modelar situaciones complejas, La ciencia de desarrollar técnicas de solución para resolver dichos modelos y La capacidad de comunicar efectivamente los resultados. Objetivo de la Investigación operativa: Estudiar la asignación óptima de recursos escasos a determinada actividad. Evaluar el rendimiento de un sistema con objeto de mejorarlo.

Investigación de Operaciones (I.O.) Es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficiente, en la gestión y organización de sistemas complejos Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones Requiere un enfoque interdisciplinario

Historia de la I.O. Se aplica por primera vez en 1780 Antecedentes: Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX) Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20) Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (años 20) El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial para resolver problemas de organización militar: - Despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo, colocación de minas,…

Historia de la I.O. Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria, debido a: competitividad industrial progreso teórico RAND, Research ANnd Development Corp. (Dantzig) Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker) Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper) gran desarrollo de los computadores: * aumento de la capacidad de almacenamiento de datos * Incremento de la velocidad de resolución de los problemas.

Actualidad de la I.O. Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial Más información: Association of European O.R. Societies (EURO) www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS) www.informs.org International Federation of O.R. Societies (IFORS) www.ifors.org Instituto Chileno de Investigación Operativa (ICHIO) http://www.ind.utfsm.cl/ichio/

El método de la I.O. Definición del problema Formulación del problema y construcción del modelo Resolución Verificación, validación, refinamiento Interpretación y análisis de resultados Implantación y uso extensivo A lo largo de todo el proceso debe haber una interacción constante entre el analista y el cliente

Definición del problema Consiste en identificar los elementos de decisión objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer) alternativas limitaciones del sistema Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema) Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles "El Administrador Como un Definidor" del profesor Oscar Johansen

Factores problemáticos Datos incompletos, conflictivos, difusos Diferencias de opinión Presupuestos o tiempos limitados Cuestiones políticas El “cliente” (tomador de decisiones) no tiene una idea firme de lo que quiere realmente (SDLC vs “CLDS”) Plan de trabajo: Observar Ser consciente de las realidades políticas Decidir qué se quiere realmente Identificar las restricciones Búsqueda de información permanente

Formulación del problema Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos hace más claras la estructura y relaciones facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores a veces no es aplicable

Construcción del modelo Traducción del problema a términos matemáticos objetivos: función objetivo alternativas: variables de decisión limitaciones del sistema: restricciones Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas heurísticos simulación

Modelado matemático Paso 1.- Identificar las variables de decisión ¿Sobre qué tengo control? ¿Qué es lo que hay que decidir? ¿Cuál sería una respuesta válida en este caso? Paso 2.- Identificar la función objetivo ¿Qué pretendemos conseguir? Si yo fuese “el jefe” ¿qué me interesaría más? (Costo de Agencia y Supuestos de Racionalidad) Paso 3.- Identificar las restricciones o factores que limitan la decisión Recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material) Fechas límite Restricciones por la naturaleza de las variables (no negatividad, enteras, binarias) Restricciones por la naturaleza del problema Paso 4.- Traducción de los elementos básicos a un modelo matemático.

Resolución del modelo Paso 1.- Elegir la técnica de resolución adecuada Técnicas existentes, modificación, creación o heurísticos. Paso 2.- Generar las soluciones del modelo Algoritmos, Programas computacionales, Solvers. Paso 3.- Comprobar/validar los resultados Probar la solución en el entorno REAL Paso 4.- Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo matemático Estudiar hipótesis, comprobar exactitud de datos, relajar o endurecer aproximaciones, revisar restricciones Paso 5.- Realizar análisis de sensibilidad Analizar adaptaciones en la solución propuesta frente a posibles cambios (principalmente en PARAMETROS)

Tipos de modelos Determinísticos Probabilísticos Programación matemática Programación lineal Programación entera Programación dinámica Programación no lineal Programación multiobjetivo Modelos de transporte Modelos de redes Probabilísticos Programación estocástica Gestión de inventarios Fenómenos de espera (colas) Teoría de juegos Simulación

“Guía general” para la formulación de modelos Identificación de los elementos básicos. Expresar en palabras: Datos del problema Factores que no son susceptibles de cambio Variables de decisión Variables sobre las que se tiene control Restricciones Causas por las que la decisión está limitada Función objetivo Medida del rendimiento que se quiere optimizar

Ejemplo nº1 En una fábrica de cerveza se producen dos tipos: rubia y negra. Su precio de venta es de 0,5 euros/l y 0,3 euros/l, respectivamente. Sus necesidades de mano de obra son de 3 y 5 empleados, y de 5.000 y 2.000 euros de materias primas por cada 10.000 l. La empresa dispone semanalmente de 15 empleados y 10.000 euros para materias primas, y desea maximizar su beneficio. ¿Cuántos litros debe producir?

Formulación

Modelo Matemático Definir las x1 , x2 , . . . . xn Variables de Decisión x1 , x2 , . . . . xn Función Objetivo Maximizar ó min f( x1 , x2 , . . . . xn ) g1( x1 , x2 , . . . . xn )  b1 g2( x1 , x2 , . . . . xn )  b2 gm( x1 , x2 , . . . . xn ) = bm . Restricciones Sujeto a: x1 , x2 , . . . . xn  0

Programación Lineal Cuando la función objetivo y todas las Restricciones Son “Lineales” tenemos un “Modelo de Programación Lineal. Max Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn Sujeto a: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn  b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn  b2 am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn  bm . xJ  0 Para J = 1, 2, 3, . . . n

El modelo de P.L. z: función objetivo CT (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f.o. XT (x1,...,xn): vector de variables de decisión A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos b (b1,...,bm): vector de demandas Matricialmente, Opt CTX s.a. AX b x  0 Forma canónica

Modelos de prog. entera El modelo matemático es el modelo de P.L., pero con algunas variables enteras Programación entera mixta (MIP) x  R+, y  Z+ Programación entera pura (IP) x  Z+ Programación binaria ó 0-1 (0-1 MIP, 0-1 IP, BIP) x  {0,1}: variables de asignación, lógicas Son problemas más complicados de resolver que los de P.L. El primer algoritmo de resolución se planteó en el año 1958 (Gomory)

Problemas típicos Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajante (TSP) Problema de rutas óptimas

Planificación de la producción Product - mix Decidir nº de productos a elaborar Maximizar los beneficios de modo que: No se superen las cantidades de recurso disponibles se satisfagan las previsiones de demanda Max z = ∑ cj . Xj n= nº de productos a elaborar s.a. ∑ aj . Xj ≤ bj m = nº de recursos disponibles Xj ≤ Uj ci = beneficio aportado por 1 unidad del producto i. Xj ≥ Lj bj = cantidad del recurso j disponible. Xj ≥ 0 aij = unidades del recurso j necesarias par producir 1 del i. Ui = máxima venta potencial producto i. Li = cantidad mínima requerida del producto i

Planificación de la producción Product – mix con costes en los recursos Decidir nº de productos a elaborar Maximizar los beneficios de modo que: No se superen las cantidades de recurso disponibles se satisfagan las previsiones de demanda Max z = ∑ cj . Xj ─ ∑ cj . Xj n= nº de productos a elaborar m = nº de recursos disponibles s.a. ∑ aj . Xj = Yi ci = beneficio aportado por 1 unidad del producto i. bj = cantidad del recurso j disponible. rj = coste de 1 unidad del recurso j. Y i ≤ bj Xj ≤ Uj aij = unidades del recurso j necesarias par producir 1 del i. Xj ≥ Lj Ui = máxima venta potencial producto i. Li = cantidad mínima requerida del producto i Xj ≥ 0

Mezclas de materiales Encontrar la cantidad de cada producto que va a intervenir en la mezcla Minimizar gastos Teniendo en cuenta los requerimientos (de calidad) exigidos. Min z = ∑ cj . Xj s.a. ∑ Xj = T ∑ aij . Xj ≤ cmaxi . T ∑ aij . Xj ≥ cmini . T 0 ≤ Xj ≤ Uj ( ∑ dj . Xj = T)

Problema del transporte Distribuir un bien desde m orígenes a n destinos Minimizar el coste Min z = ∑ ∑ cij . Xij s.a. ∑ xij ≤ si ∑ xij ≥ di xij ≥ 0 Oferta total: OT = ∑ Xj Demanda total: DT = ∑ d j Problema balanceado:

Problema del transporte balanceado OT = DT ; ∑ Xj = ∑ dj Min z = ∑ ∑ cij . X ij s.a. ∑ xij = si ∑ xij = dj xij ≥ 0

Problema de asignación Minimizar el coste total de operación de modo que: - cada tarea se asigne a una y sólo una máquina - cada máquina realice una y sólo una tarea xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina j cij: coste de realizar la tarea i con máquina j n tareas m máquinas Si hay más máquinas que tareas se formula con desigualdades, y se resuelve con tareas ficticias

Vívi está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr. de Calcio, 200 mgr. de proteínas y 150 mgr de minerales. Con los alimentos de la tabla formula el modelo PL que la ayudaría   ALIMENTO PORCION VITAM. A CALCIO PROTEINAS MINERALES COSTO KCALORIAS LECHE 1 TAZA 105 75 50 35 $ 75 60 HUEVO 2 UNIDADES 80 15 $ 70 ESPINACAS 1 RACION 100   125 78 $ 100 CHULETAS 2 CHULETAS 25 10 55 $400 175 PESCADO 1 PRESA 150 $500 TORTA 2 TROZOS 30 5 8 $300 200