UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO Facultad de Ciencias DENSIDAD, PRINCIPIO DE PASCAL, PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y ECUACIÓN DE BERNOULLI Material de apoyo para el tema Mecánica de Fluidos de la Unidad de Aprendizaje “Laboratorio de Física Térmica”, la cual es una unidad obligatoria del Segundo Semestre del Plan de Estudios vigente de la Licenciatura de Física de la Facultad de Ciencias, UAEM ELABORADO POR: DR. CARLOS RAÚL SANDOVAL ALVARADO JULIO/2016

SECUENCIA DIDÁCTICA Definir los conceptos de fluido, densidad y presión hidrostática. Describir las consideraciones experimentales del Principio de Pascal y presión manométrica. Describir las consideraciones experimentales del Principio de Arquímedes y peso aparente. Describir las consideraciones experimentales de la ecuación de Bernoulli y su uso para construir medidores de flujo (tubo Venturi).

MAPA CURRICULAR

MAPA CURRICULAR

INDICE DE CONTENIDO DIAPOSITIVA CONTENIDO 5 ÍNDICE DE CONTENIDO 6 7 8 9 GUIÓN EXPLICATIVO 10 DIAPOSITIVA CONTENIDO I CARÁTULA INSTITUCIONAL II SECUENCIA DIDÁCTICA III MAPA CURRICULAR IV (continuación)

INDICE DE CONTENIDO DIAPOSITIVA CONTENIDO 18 RELACIÓN ENTRE MASA Y VOLUMEN EN LOS FLUIDOS (ref. 2) 19 EJEMPLOS DE VALORES DE DENSIDAD ABSOLUTA (ref. 2) 20 EJEMPLOS DE VALORES DE DENSIDAD ABSOLUTA (ref. 2) CONTINUACIÓN 21 DEFINICIÓN DE DENSIDAD RELATIVA (ref. 3) 22 DEFINICIÓN DE PRESIÓN (ref. 3) DIAPOSITIVA CONTENIDO 11 GUIÓN EXPLICATIVO 12 13 14 OBJETIVO DEL CURSO 15 JUSTIFICACIÓN 16 CARACTERÍSTICAS DE TODO FLUIDO (ref. 1) 17 DEFINICIÓN DE FLUIDO (ref. 1)

INDICE DE CONTENIDO DIAPOSITIVA CONTENIDO 23 UNIDADES DE PRESIÓN Y PRINCIPIO DE PASCAL (ref. 1) 24 DIFERENCIA ENTRE FUERZA EN SÓLIDOS Y PRESIÓN SOBRE UN FLUIDO (ref. 1) 25 LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA (ref. 2) 26 EJEMPLOS PARA ANALIZAR EN CLASE 27 LA PRESIÓN EN UN PEZ 28 PARADOJA HIDROSTÁTICA (ref. 1) DIAPOSITIVA CONTENIDO 29 PRENSA HIDRAULICA (ref. 3) 30 MEDIDA DE LA PRESIÓN MANOMÉTRICA) (ref. 3) 31 EXPERIENCIA DE TORRICELLI 32 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 33 ENUNCIADO DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES (ref. 1)

INDICE DE CONTENIDO DIAPOSITIVA CONTENIDO 39 CONSIDERACIONES PARA EL USO DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI 40 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI (ref. 4) 41 EFECTO BERNOULLI 42 PARA DISCUSIÓN EN CLASE 43 LEY DE TORRICELLI (ref. 3) 44 EL TUBO DE VENTURI (ref. 4) 45 REFERENCIAS DIAPOSITIVA CONTENIDO 34 OBJETOS TOTALMENTE SUMERGIDOS (ref. 4) 35 EJEMPLO: CÁLCULO DEL PESO APARENTE 36 APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 37 ECUACIÓN DE BERNOULLI 38 FLUIDOS EN MOVIMIENTO (ref. 1)

GUIÓN EXPLICATIVO Diapositiva Explicación 1 CARÁTULA INSTITUCIONAL 2 SECUENCIA DIDÁCTICA 3 MAPA CURRICULAR DE LA LIC. DE FÍSICA (1ra. Parte) 4 (2da. Parte) 5 ÍNDICE (1ra. Parte) 6 ÍNDICE (2da. Parte) 7 ÍNDICE (3a. Parte) 8 ÍNDICE (4a. Parte) 9 GUIÓN EXPLICATIVO (1ra. Parte) 10 GUIÓN EXPLICATIVO (2da. Parte)

GUIÓN EXPLICATIVO Diapositiva Explicación 11 GUIÓN EXPLICATIVO (3ra. Parte) 12 GUIÓN EXPLICATIVO (4ta. Parte) 13 GUIÓN EXPLICATIVO (5ta. Parte) 14 OBJETIVO DEL CURSO 15 Se muestra la justificación de este material. 16 Se mencionan las características físicas que posee todo fluido. 17 Se da la definición de fluido. 18 Se muestra la relación entre masa y volumen en los fluidos . 19 Se muestra en una tabla ejemplos de los valores de la densidad absoluta de algunos materiales sólidos. 20 Se muestra en una tabla ejemplos de los valores de la densidad absoluta de algunos materiales líquidos. 21 Se muestra la definición de densidad relativa.

GUIÓN EXPLICATIVO Diapositiva Explicación 22 Se muestra la definición física de presión. 23 Se muestran las unidades asociadas a la definición física de presión atmosférica y se describe en qué consiste el Principio de Pascal 24 Se mencionan las diferencias entre fuerza aplicada a un sólido y la presión que se ejerce sobre un fluido. 25 Se da la definición física de presión hidrostática. 26 Se muestra un letrero que indica el tema a tratar en esta sección de este material didáctico (Ejemplos para analizar en clase). 27 Se propone como primera actividad de refuerzo la discusión y el análisis sobre la aplicación de la definición de presión hidrostática para explicar el movimiento de un pez en el agua. 28 Se muestran que el comportamiento de los fluidos cuando se les confina en depósitos de diferente forma siempre tienen el mismo nivel, conocido esto como paradoja hidrostática 29 Se muestra un ejemplo de aplicación de la definición de presión hidrostática y el Principio de Pascal, conocido como prensa hidráulica.

Se da el enunciado del Principio de Arquímedes. GUIÓN EXPLICATIVO Diapositiva Explicación 30 Se explica como se utiliza el Principio de Pascal para construir un manómetro. 31 Se muestra como la explicación del funcionamiento de un manómetro permite explicar el funcionamiento del barómetro construido por Torricelli. 32 Se muestra un letrero que indica el tema a tratar en esta sección de este material didáctico (Principio de Arquímedes) 33 Se da el enunciado del Principio de Arquímedes. 34 Se explica como el Principio de Arquímedes se aplica para describir el empuje y la flotación de objetos sumergidos en un fluido. 35 Se da un ejemplo del cálculo del peso aparente de objetos sumergidos en un fluido. 36 Se da un ejemplo del cálculo del peso aparente de objetos sumergidos en un fluido, aplicado a la flotabilidad de globos aerostáticos. 37 Se muestra un letrero que indica el tema a tratar en esta sección de este material didáctico (Ecuación de Bernoulli)

GUIÓN EXPLICATIVO Diapositiva Explicación 38 Se explica el concepto de flujo estable de fluidos newtonianos. 39 Se expresan las consideraciones físicas necesarias para el uso directo de la ecuación de Bernoulli. 40 Se muestra la deducción teórica de la ecuación de Bernoulli, utilizando la ley de conservación de la energía. 41 Se explica el efecto Bernoulli cuando un fluido se desplaza en un tubo que cambia su diámetro. 42 Se muestran algunas preguntas, para discutir el la clase, sobre el uso de la ecuación de Bernoulli 43 Se explica la Ley de Torricelli, suponiendo que el nivel del líquido cambia muy lentamente. 44 Se explica el funcionamiento del Tubo Venturi utilizando la ecuación de Bernoulli. 45 Se muestran las referencias bibliográficas de consulta.

OBJETIVO DEL CURSO (obtenido del Plan Curricular vigente de la Licenciatura de Físico) El curso de Laboratorio de Física Térmica pretende que el alumno adquiera conocimientos sobre: El diseño, construcción y realización de prácticas que contienen temas que involucran los conceptos de Calor, Ondas y Fluidos.

JUSTIFICACIÓN Actos tan cotidianos como tomar una ducha, respirar o beber agua, requieren necesariamente la circulación de fluidos. El estudio de la mecánica de fluidos puede ayudarnos tanto para comprender la complejidad de la naturaleza, como para mejorar el mundo que hemos creado. Si bien la mecánica de fluidos está siempre presente en nuestra vida cotidiana, lo que nos falta conocer es como se expresa esta información en términos cuantitativos, o la manera en que se diseñan sistemas con base en este conocimiento.

CARACTERÍSTICAS DE TODO FLUIDO (ref. 1) No se resisten a la deformación, pues ofrecen resistencia pequeña o nula a las fuerzas cortantes. Ausencia de memoria de forma, es decir, toman la forma del recipiente que lo contenga. Esta última propiedad es la que diferencia más claramente a los fluidos (líquidos y gases) de los sólidos deformables. Fuente de la imagen: http://principiodepascal.com/principio-pascal/

DEFINICIÓN DE FLUIDO (ref. 1) Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los líquidos tienen un volumen constante que no puede modificarse apreciablemente por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los gases no tienen un volumen propio, ocupan totalmente el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden ser comprimidos. Fuente de la imagen: https://democrito.info/2008/08/01/los-solidos-los-liquidos-y-los-gases-nivel-inicial/

RELACIÓN ENTRE MASA Y VOLUMEN EN LOS FLUIDOS (ref. 2) La masa y el volumen están directamente relacionados La constante de proporcionalidad se conoce como densidad r La densidad r de una sustancia es la masa por unidad de volumen de dicha sustancia Su unidad en el SI es kg/m3 Peso Específico (pe): Se define como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen V

DENSIDAD ABSOLUTA (ref. 2) EJEMPLOS DE VALORES DE DENSIDAD ABSOLUTA (ref. 2) Sustancia Densidad (g/cm3) Acero 7.7-7.9 Oro 19.31 Aluminio 2.7 Plata 10.5 Zinc 7.15 Platino 31.46 Cobre 8.93 Plomo 11.35 Cromo Silicio 2.3 Estaño 7.29 Sodio 0.975 Hierro 7.88 Titanio 4.5 Magnesio 1,76 Vanadio 6.02 Níquel 8.9 Volframio 19.34

DENSIDAD ABSOLUTA (ref. 2) EJEMPLOS DE VALORES DE DENSIDAD ABSOLUTA (ref. 2) Sustancia Densidad (g/cm3) Aceite 0.8-0.9 Bromo 3.12 Acido sulfúrico 1.83 Gasolina 0.68-0.72 Agua 1.0 Glicerina 1.26 Agua de mar 1.01-1.03 Mercurio 13.55 Alcohol etílico 0.79 Tolueno 0.866

DENSIDAD RELATIVA (ref. 3) DEFINICIÓN DE DENSIDAD RELATIVA (ref. 3)   Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua, cuya densidad a 4 ºC es igual a 1 000 kg/m3 La densidad relativa es adimensional Fuente de la imagen: http://intrepido1.over-blog.es/article-que-densidad-relativa-como-calcula-85924115.html

DEFINICIÓN DE PRESIÓN (ref. 3) Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen de cómo esta fuerza se reparte sobre la superficie del cuerpo. Un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre mas de lo que lo haría otro clavo sin punta. Fuente de la imagen: http://www.dreamstime.com

La presión ocular es un buen ejemplo del Principio de Pascal UNIDADES DE PRESIÓN Y PRINCIPIO DE PASCAL (ref. 1) 1 atm = 1,013 · 105 Pa. 1 bar = 105 Pa. Principio de Pascal La magnitud de la fuerza que ejerce un fluido en equilibrio estático sobre la superficie del recipiente que lo contiene es la misma en cualquier punto, siendo perpendicular a la superficie del recipiente. La presión ocular es un buen ejemplo del Principio de Pascal

DIFERENCIA ENTRE FUERZA EN SÓLIDOS Y PRESIÓN SOBRE UN FLUIDO (ref. 1) “Un liquido transmite la PRESIÓN que se ejerce sobre él en todas direcciones” En cambio: “Un sólido transmite Fuerzas manteniendo dirección y sentido”

LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA (ref. 2) La presión en A es: La presión ejercida en B es: La diferencia de presiones entre A y B será: esto es conocido como: “Principio Fundamental de la Hidrostática” Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la profundidad h. Fuente: http://www.hiru.eus/fisica/presion-hidrostatica-el-principio-de-arquimedes

Ejemplos para analizar en clase

LA PRESIÓN EN UN PEZ ACTIVIDAD: Discusión por parte del grupo en la clase: Un pequeño pez está nadando a 100 m bajo el agua. ¿Cuál es la presión en sus lados? ¿Cuál es la presión en su interior?

Esto es lo que se conoce como “PARADOJA HIDROSTÁTICA” PARADOJA HIDROSTÁTICA (ref. 1) Todos los puntos, que se encuentren al mismo nivel en un líquido, soportan igual presión. Ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo depende de la altura del líquido. Esto es lo que se conoce como “PARADOJA HIDROSTÁTICA” Fuente de la imagen: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/paradoja/paradoja.htm

PRENSA HIDRAULICA (ref. 3) La presión aplicada en cualquier punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo. Siguiendo el principio de Pascal, la presión se transmitirá a todos los puntos de la masa liquida. La fuerza ascendente sobre el émbolo mayor será: Fuente de la imagen: http://vinafoelber.tripod.com/id4.html

MEDIDA DE LA PRESIÓN MANOMÉTRICA) (ref. 3) Para medir la presión en líquidos o gases se emplea un dispositivo denominado manómetro. P = p0+r gh Como A y B están a la misma altura la presión en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presión en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presión en A es debida a la presión atmosférica más la presión debida a la diferencia de alturas del líquido manométrico. PA= PB Fuente de la imagen: http://slideplayer.es/slide/5185542/

El mercurio descendió hasta una altura h=0.76 m al nivel del mar. EXPERIENCIA DE TORRICELLI Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo largo cerrado por uno de sus extremos, lo llenó de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de mercurio. El mercurio descendió hasta una altura h=0.76 m al nivel del mar. Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vacío p=0, y sabiendo que la densidad del mercurio es 13.55 g/cm3 ó 13550 kg/m3 , podemos determinar el valor de la presión atmosférica. Fuente de la imagen: http://www.oni.escuelas.edu.ar/2008/CORDOBA/1324/trabajo/presionatmosferica.html

Principio de Arquímedes

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES (ref. 1) ENUNCIADO DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES (ref. 1) “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado” Peso aparente = Peso - Empuje Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje

OBJETOS TOTALMENTE SUMERGIDOS (ref. 4) Si la densidad del objeto con volumen Vo es menor que la densidad del líquido: Subida del objeto (acelera para arriba) Si la densidad del objeto con volumen Vo es mayor que la densidad del líquido: Bajada del objeto (acelera abajo). El principio de Arquímedes se puede también aplicar a los globos que flotan en aire (el aire se puede considerar un fluido) Fuente de la imagen: http://grandescientificosdelahistoria.webnode.es/inventos-o-descubrimientos/principio-de-arquimedes/

CÁLCULO DEL PESO APARENTE EJEMPLO: CÁLCULO DEL PESO APARENTE Un cubo del hierro pesa 9.80 N en aire. ¿Cuánto pesa él en agua? La densidad del hierro es 7.86x10 3 kg/m 3. La densidad del agua es 1.00x10 3 kg/m 3 Importante: Es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el empuje cuando está totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibirá un gran empuje. Un cuerpo pequeño, recibe un empuje pequeño. Fuente de la imagen: http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=133171

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Un globo de goma tiene 8 g de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas ciudad. Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg/m3 y la del gas ciudad 0,53 kg/m3 determinar el volumen que, como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse.  El volumen mínimo será por tanto de 10.5 litros

Ecuación de Bernoulli

FLUIDOS EN MOVIMIENTO (ref. 1) Utilizaré el concepto de flujo estable, es decir: el movimiento de fluido para el cual la velocidad v y la presión p no dependen del tiempo. Un gráfico de velocidades se llama diagrama de líneas de flujo. Como el de la figura de esta diapositiva. La presión y la velocidad pueden variar de un punto a otro, pero se supondrá que todos los cambios son uniformes.

CONSIDERACIONES PARA EL USO DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Emplearemos las siguientes hipótesis: El fluido es incomprensible. La temperatura no varía. El flujo es estable, la velocidad y la presión no dependen del tiempo. El flujo no es turbulento, es laminar. El flujo es irrotacional, de modo que no hay circulación. El fluido no tiene viscosidad.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI (ref. 4) Dado la ley de la conservación de la energía: Wneto = DK + DU La fuerza ejercida por la presión p1 es: p1A1, y el trabajo realizado por esta fuerza es: W1 = F1Dx = p1A1Dx1 = p1V similarmente para el lado derecho W2 = -F2Dx2 = -p2A2Dx2 = -p2V, El trabajo neto es W1 + W2 = p1V – p2V = (p1 – p2)V

EFECTO BERNOULLI Para un flujo horizontal p + ½ rv2 = constante La presión en menor donde la velocidad del fluido es mayor y viceversa. v1 < v2 p1 > p2 v2 v1 p1 p2

PARA DISCUSIÓN EN CLASE ¿Dónde es más grande la presión, en A o en B? A B ¿Por qué se levanta el techo con un viento fuerte? ¿Por qué sale líquido por la boquilla al apretar la perilla? ¿Hacia donde es empujada la pelota, hacia arriba o hacia abajo?

LEY DE TORRICELLI (ref. 3) La presión del aire en la superficie del líquido (1) es la misma que en el orificio (2), entonces podemos establecer: Suponiendo que v1 = 0 (el nivel del líquido cambia muy lentamente), llegamos a: Fuente de la imagen: http://slideplayer.es/slide/1710144/

EL TUBO DE VENTURI (ref. 4) La altura promedio del fluido es constante, entonces: De la ecuación de continuidad v1 A1 = v2 A2 Es fácil llegar a: Fuente de la imagen: http://slideplayer.es/slide/1029489/

REFERENCIAS Física Conceptual 10a ed. Paul Hewitt, Addison Wesley, 2007 Fisica 1 3ed. Raymond A. Serway/John W. Jewett Jr, International Thomson Editores S.A. de C.V. / 2007. Física, Volumen 1, Robert Resnick/David Halliday, Pearson Educación de México S.A. de C.V. / 2002 Física Universitaria Vol. 1, Sears/Zemansky/Young/Freedman, Pearson Education de Mexico S.A. de C.V. / 1999 /