Material de apoyo para tema : Interés compuesto

cuando sólo el capital gana intereses . Interés Simple El interés es simple : cuando sólo el capital gana intereses . Teorema 1: Los intereses I que produce un capital C con una tasa de interés simple anual i durante n años están dados por: I= C x i x n Teorema 2: El valor acumulado M de un capital C que devenga intereses con la tasa de interés simple anual i, al final de n periodos anuales es: M = C x ( 1 + i x n)

Valor futuro y composición. El valor futuro (VF) es la cantidad de dinero que llegara a obtener nuestra inversión a lo largo de un cierto periodo de tiempo y a una determinada tasa de interés. Inversión por un periodo único: Supongamos que se quiera invertir $ 1.000 durante un año a una tasa de interés (r) del 10%. Cuál sería el valor futuro de esta inversión? Con la siguiente expresión VF = C (1 + r) Tendremos; VF = 1000 (1 + 0.10) Lo que es igual a $ 1.100.

Valor futuro y composición. Inversión por periodos múltiples: Ahora si la misma inversión de $ 1.000 se la quiere mantener durante 3 años con la misma tasa de interés. Cuál sería el valor de esa inversión al final del año 3? Dos Aspectos importantes a considerar: Al final de cada periodo, los intereses se retiran por lo cual el capital inicial es el mismo que se renueva en cada periodo. Si la tasa de interés se aplica sobre el capital mas los intereses ganados en cada uno de los periodos. Es decir, los intereses de la inversión “se capitalizan” al final de cada periodo.

Valor futuro y composición. En el primer caso la aplicación de la mecánica corresponde al interés simple que implica que al final de cada periodo los intereses se retiran: Capital Inicial Interés simple 1) 1.000 se retiran 100 2) 1.000 “ “ 100 3) 1.000 “ “ 100 Total Final : 1.000 + 300 Al final del último año, se tiene un capital de $1.000 y se han ganado intereses en el tiempo de $ 300.

Valor futuro y composición. En el caso de capitalizar los intereses ganados: Hoy En 1 año En 2 año En 3 años $1000 $1000+10%=1100 $1100+10%=1210 $1210+10%=1331 O bien 1000*(1+0.1) 1000*(1+0.1)*(1+0.1) 1000*(1+0.1)*(1+0.1)*(1+0.1) O sea 1000*(1+i) 1000*(1+i)1 1000*(1+i)2 1000*(1+i)3 Por lo tanto, la fórmula del valor futuro de un cierto valor presente es: VF = VP * (1 + l )^n DONDE n= NÚMERO DE PERIODOS

Valor futuro y composición. Analizando ambos casos: Capital Inicial Interés simple Capital inicial Interés compuesto 1) 1.000 100 1.000 100 2) 1.000 100 1.100 110 3) 1.000 100 1.210 121 T: 1.000 + 300 = 1.300 1.000 + 331 = 1.331 El interés compuesto significa “intereses sobre intereses”.

El interés es compuesto: Teoría del interés compuesto El interés es compuesto: si a intervalos de tiempo preestablecidos, el interés vencido se agrega al capital; por lo que éste también genera intereses. Teorema 1: El monto acumulado M de un capital C al Final de n p periodos es: M = C x (1 + i /p)n p donde: n es el plazo en años n p es el numero de periodos e i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año.

Comparación del monto del interés simple y compuesto Caso 1: Suponga que se depositan $1.000 en una cuenta bancaria que paga el 36% de interés anual compuesto convertible mensualmente, ¿cuál será el monto acumulado al final de año y medio?

Comparación del monto del interés simple y compuesto ( TASA DE INTERES MENSUAL 036 / 12 = 0,03) - INTERES SIMPLE : M = C x ( 1 + i x n) M= 1000 x ( 1+ (0,03x18))= $1.540 - INTERES COMPUESTO: M = C x (1 + i /p)n p M18 = 1000 x ( 1 + 0,18/12)1.5x12 =$1.702,43 Conclusión: Si la inversión se hace con interés simple, el monto final es menor

Comparación del monto del interés simple y compuesto Caso 2: Suponga los mismos datos que el caso 1 , pero ahora se capitalizan los intereses cada quince días y no en forma mensual. ( TASA DE INTERES QUINCENAL 0,36 / 24 = 0,015) - INTERES COMPUESTO: M = C x (1 + i /p)n p M36 = 1000 x ( 1 + 0,015) 36 = $1.709,14 Conclusión: si se reduce el tiempo en que los intereses se capitalizan, el monto aumenta, es decir, resulta más productivo pues los intereses producen intereses más pronto y con mayor frecuencia.

Comparación del monto del interés simple y compuesto El tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama periodo de capitalización, y el numero de veces por año en las que los intereses se capitalizan se llama frecuencia de conversión y se denota con p.

RESUMEN RESUMEN - INTERES SIMPLE : M = C x ( 1 + i x n) - INTERES COMPUESTO: M = C x (1 + i /p)n p