DIVISIBILIDAD

TEMARIO Diapositivas Múltiplos ………………………………………………………………………. Divisores ……………………………………………………………………………. Ejercicios ……………………………………………………………………………………………… Reglas de divisibilidad ……………………………………………………………………………… Ejercicios ………………………………………………………………………………………….. Números Primos y Compuestos ………………………………………………………… Factorización ……………………………………………………………………………………….. mínimo común Múltiplo …………………………………………………………............. Máximo común divisor ……………………………………………………………………..… Cálculo del mcM y Mcd …………………………............................................... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

MULTIPLOS Juan tiene camino a su casa 6 naranjos Si el elige naranjas de cada uno cuantas naranjas junta Contemos Dicho de otra manera Por lo tanto y como la multiplicación es conmutativa Entonces si 3 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 6 veces 3 =18 ó sea 6x3=18 1 2 18 Es MULTIPLO de 3 3 4 6x3 = 3x6=18 ó sea 8 = 6 veces 3 = 3 veces 6 5 6 18=3x6 18 es MULTIPLO de 3 y de 6

Múltiplos Hemos visto que la multiplicación es una suma de términos iguales y puede escribirse de manera comprimida o abreviada: a + a + . ... + a = n x a n veces Diremos que Y si: Un número natural b es MÚLTIPLO de a si: b = n x a con n Natural b = a x c b es MULTIPLO DE a y de c TEMARIO

DIVISORES Se tienen 18 butacas para acomodar enfrente de un escenario en un rectángulo formado por filas y columnas Si se decide colocarlas en 3 filas ¿con cuantas columnas formamos el rectángulo? 18 es múltiplo de 3, 18 = 3x6 y por lo tan se puede “repartir” en 3 filas de 6 columnas Por lo tanto podemos afirmar que: Ahora bien ¿es la única forma de acomodar las butacas? , Por lo tanto DIVISORES de 18 son : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 18 es DIVISIBLE por 3 o bien 3 es DIVISOR de 18 1° fila 2° fila 3° fila NO 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 1 fila de 18 2 filas de 9 3 filas de 6 18 filas de 1 9 filas de 2 6 filas de 3

DIVISORES Si a es múltiplo de b, la división a : b tiene resto cero por lo tanto decimos : De la definición se desprende: 1 es divisor de todos los números Todo número (distinto de CERO) es divisor de sí mismo a = n x b Si a es múltiplo de b : a es DIVISIBLE por b y b DIVISOR de a TEMARIO

EJERCICIOS 52 = 4 x 13 entonces es 52 es múltiplo de ….. Y …… Completa las siguientes proposiciones para que resulten Verdaderas 52 = 4 x 13 entonces es 52 es múltiplo de ….. Y …… 52 = 4 x 13 entonces es 52 es divisible por …. Y …… 2. Para pensar y sacar una conclusión .... 25 y 70 son múltiplos de 5 ¿25 + 70 es múltiplo de 5? 124 y 32 son múltiplos de 4 ¿ 124 + 32 es múltiplo de 4? ¿252 y 588 son múltiplos de 7? ¿La suma de ellos es múltiplo de 7? ¿Y su diferencia? 3. Para pensar a) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su divisor más pequeño? ¿y el mayor? b) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Por qué? c) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su múltiplo menor? ¿y el mayor? d) La suma de varios múltiplos de un número ¿también es múltiplo de dicho número? Si TEMARIO

Reglas de divisibilidad Criterio Un número es divisible por Ejemplo 2 cuando la cifra de las unidades es múltiplo de 2 (par) 568  8 es par 3 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3 276 2 + 7 + 6 = 15  15= 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4 1716  16 = 5 cuando la cifra de las unidades es 0 ó 5 6735 y 1230 6 cuando es divisible por 2 y por 3 144 4 = y 144  1 + 4 + 4 = 9  9 = 8 cuando el número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8 5888 y 1016 9 si la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9 729  7 + 2 + 9 = 18  18 = 10 si la cifra de las unidades es cero 120 y 100 TEMARIO

EJERCICIOS 3. Escribir Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: Si un número es divisible por 6, entonces, es divisible por 3. Si un número es divisible por 3, entonces, es divisible por 6. Si un número es divisible por 3 y por 5, entonces, es divisible por 15. Si un número es divisible por 7, entonces, no es divisible por 2. Si un número no es divisible por 4, entonces, no es divisible por 2. Si un número es divisible por 16, entonces, es divisible por 8 y por 4. 4.Marca con una cruz la o las respuestas correctas (justifica) El 2316 es un número divisible por: 2   3 4 6 8 9 Si un número es divisible por 3 y por 4 , entonces lo es por: 7 12 5 centena 4decenas es un número divisible por : 5 10 Cual de los siguiente números es divisible por 15: 30  105  130 55 90 TEMARIO

Números primos y compuestos La cantidad de divisores que tiene un número permite clasificarlo en número primo o número compuesto, todo número n mayor que 1 tiene como divisores al 1 y a él mismo. Si admite sólo estos divisores, se dice que el número es PRIMO Si los divisores son más de dos, el número es COMPUESTO A lo números compuestos es posible factorizarlo, o esa, como producto de los números primos que lo dividen. La factorización es una descomposición única,( salvo el orden en que pueden usarse los números primos como factores.) Divisores de 20 1,2,4,5,10,20 Divisores de 15 1,3,5,15 Divisores de 45 1,3,5,9,15, 45 Divisores de 32 1,2,4,8,16,32 Divisores de 37 1,37 Divisores de 19 1,19 Divisores de 7 1 , 7 Divisores de 24 1,2,3,4,6,8,12,24 Divisores de 23 1,23 Los primeros números primos son : 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 ,37,…… TEMARIO

FACTOREO: Los números compuestos se los puede escribir como producto de números primos Todos los números naturales se pueden descomponer en una factorización única de números primos. 40 4 2 10 5 24 4 2 6 3 60 6 3 2 10 5 40 = 2.2.2.5 =23.5 24 = 2.2.2.3 =23.3 60 = 2.2.3.5 =22.3.5 48 : 2 24 12 6 3 : 3 1    48 = 2.2.2.2.3=24.3 210 2 105 3 35 5 7 1    120 2 60 30 15 3 5 1 TEMARIO 210 = 2.3.5.7 120 =23.3.5

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO mcM se llama múltiplo común menor al menor de todos los múltiplos que tienen en común Ejemplo: Obtengamos el mcM entre 12,18 Múltiplos de 12: { Múltiplos de 18: { Múltiplos comunes { ...} El menor múltiplo común de 12 y 18 es ___. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 ...} Determinando los múltiplos de cada número 18, 36, 54,72,90 ...} 36 , 72 36 Situación poblemática: Sofi visita a su abuela cada 15 días y Juani cada 20 días. Hoy los encontramos Juntos compartiendo un libro con su abuela. ¿Cuántos días deben pasar para que se encontraran nuevamente Rta: se encontraran dentro de 60 días 15 40 45 20 60 30 60 TEMARIO

Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Ejemplos: Obtengamos el M.c.d entre 12 y 18 TEMARIO Mcd Se llama máximo común divisor al mayor de todos los divisores que tienen en común Ejemplos: Obtengamos el M.c.d entre 12 y 18 Divisores de 12 = { } Divisores de 18 = { } Divisores comunes = { } El mayor divisor común de 12 y 18 es ___ Situación problemática: un paisajista tiene 20 violeta y 15 rojas y quiere armar la mayor cantidad de canteros con el mismo diseño. ¿Cuántos canteros podrá armar y con cuantas flores? Divisores comunes: 1 y 5 ( se podrán utilizar en 1 o 5 canteros iguales) El Mcd= 5 Rta.: Podrá realizar 5 cantero con 4 flores violetas y 3 rojas. 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 1 2 3 6 6 Flor roja Flor violeta canteros Flores flores 1 20 15 2 10 3 5 4

Cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60. 72 = 23 ·32 108 = 22·33 60 = 22 ·3·5 m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Hallar el m. c. M. de: 72, 108 y 60. 72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5 m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080 1 080 es el menor número de los múltiplos de: 72, 108 y 60