Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10 * 4º ESO E. AP. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 10.4 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES PERIÓDICAS Y ACOTADAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

PERIODICIDAD PERIODICIDAD Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma se repite a intervalos iguales. La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, T. Si se cumple que f(x) = f(x + n.T), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … ) , entonces la función es periódica y de periodo T. Ejemplos de funciones periódicas Con periodo T = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo función periódica La noria. 5mn 10 mn 5 mn 5 mn 5mn 10 mn 5 mn 5 mn P = 25 mn P = 25 mn En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros. Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando. Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse. Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. El periodo es t = 25 mn @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo función periódica La electricidad La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas que hay. Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º . En Europa, España incluida, el periodo es de 1/50 = 0,020 segundos. En América, el periodo es de 1/ 60. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

ACOTACIÓN Una función y = f(x) decimos que está acotada inferiormente si existe un número real k tal que para todo x se cumple f(x) ≥ k. Al número k se le llama cota inferior. Una función y = f(x) decimos que está acotada superiormente si existe un número real k tal que para todo x se cumple f(x) ≤ k. Al número k se le llama cota superior. Una función y = f(x) decimos que está acotada si lo está superior e inferiormente. Es importante tener ese concepto en cuenta para no buscar inútilmente valores imposibles de darse, tanto por encima como por debajo de sus cotas. Por ejemplo la función: f(x) = (x2 + 1)/((x2 + 10) nunca puede valer más de la unidad ni menos de 0,10. La cota superior es K=1 (que nunca alcalza) y la inferior es k=0,10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos de acotación Sea la función: Sea la función: f(x) = x2 – 2 La función está acotada inferiormente, La cota inferior es k=-2 Pues f(x) ≥ -2 Sea la función: f(x) = – x2 + 3.x – 2 La función está acotada superiormente. La cota superior es k=0’25 Pues f(x) ≤ 0’25 TABLA x y -1 -6 0 -2 1,5 0,25 3 -2 TABLA x y -2 2 -1 -1 0 -2 -1 2 y y x x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos de acotación Ejemplo 3 Ejemplo 4 Sea la función: f(x) = 2 + √ x La función está acotada inferiormente. La cota inferior es k=2 Pues f(x) ≥ 2 Sea la función: f(x) = x3 La función no está acotada, ni superior ni inferiormente. TABLA x y -1 --- 0 2 3 3,41 4 4 TABLA x y -2 - 8 -1 - 1 0 0 1 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo de acotación La función seno , f(x) = sen x , es una función acotada. Está acotada inferiormente y su cota inferior vale k= -1 Está acotada superiormente y su cota superior vale k= 1 Por lo que: - 1 ≤ sen x ≤ 1 , como sabemos por trigonometría. En la aplicación práctica de la electricidad, los 220 Voltios que nos llega a los enchufes de nuestros hogares no es el valor absoluto, sino un valor que se llama valor eficaz. Así: - 220.√2 ≤ tensión eléctrica ≤ 220.√2 1 311,1269 v -1 - 311,1269 v @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.