Cuatro lecciones de matemáticas Profesor: Julián García Crisóstomo

TRIGONOMETRíA

La trigonometría es una rama de las matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. La palabra trigonometría viene del griego “trigonon” (triángulo) y “metron” (medida).

Indice Un poco de historia …………………………….………………...diap. 5 Aplicaciones……………………………………………................. 15 Medida de ángulos…………………………………....……………. 17 Razones trigonométricas de un ángulo ………….………………. 20 Representación en la circunferencia unidad……………………… 34 Razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, diametralmente opuestos, opuestos ………….. 42 Resolución de triángulos ……………………………………………. 47 Fórmulas para la suma, resta, ángulo doble y ángulo mitad …… 66 Expresar sumas y diferencias como productos ………………….. 74 Representación gráfica de las funciones trigonométricas ………. 79 Ecuaciones trigonométricas …………………………………………. 93 Ejercicios ………………………………………………………………. 98

Un poco de historia Hace más de 3000 años, los babilonios ya empleaban los ángulos de un triángulo y ciertas razones trigonométricas para realizar medidas en agricultura. La Trigonometría fue utilizada por los babilonios en los primeros estudios de astronomía para el cálculo de la posición de cuerpos celestes, la predicción de sus órbitas y en navegación

También los egipcios, en esa misma época, abordan el problema de la medición de ángulos. Fueron ellos quienes establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos, criterio que se ha mantenido hasta nuestros días y utilizaron la medición de triángulos en la construcción de las pirámides.

La primera gran aportación a la trigonometría se debe al griego Hiparco de Nicea en el S.II a.C. , que es considerado el padre de la trigonometría. Hiparco construyó unas tablas de cuerdas, que fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. En ellas iba relacionando las medidas angulares con las lineales.

Pasan casi 300 años, para que otro matemático y astrónomo griego continuara el trabajo de Hiparco, Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.). Creó una nueva tabla de cuerdas con un error menor que 1/3600. Junto con la tabla, explicaba cómo obtenerla e incluso da ejemplos sobre cómo usarla para resolver triángulos rectángulos. También aplicó sus teorías trigonométricas a la construcción de relojes de sol y de astrolabios.

Para confeccionar dichas tablas fue recorriendo una circunferencia de radio 60 desde los 0º hasta los 180º e iba apuntando en la tabla la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central y la circunferencia a la que corta. Sen α=1/2 · 1 /60· cuerda 2α

A partir del siglo VIII los matemáticos árabes continúan los trabajos de los griegos. Tal fueron sus avances que en el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco razones trigonométricas: coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. A ellos se debe también el tomar como radio r = 1 en la circunferencia goniométrica para obtener las razones trigonométricas.

La trigonometría llega a occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe. Pero no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante sobre este tema. Fue el matemático alemán Johann Müller (1436-1476), conocido como Regiomontano, el que escribe las primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado como fundador de esta parte de las matemáticas

inventor de los logaritmos (1550-1617). A principios del siglo XVI se produce un gran avance de los cálculos trigonométricos, gracias al matemático escocés Napier, inventor de los logaritmos (1550-1617). (su nombre se latinizó como Neper) .

Newton (1643-1727) creó el Cálculo Infinitesimal, que permite representar muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas. Así, la Trigonometría pasa a formar parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel fundamental.

Euler (1707-1783), matemático suizo, definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones exponenciales de números complejos, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.

Aplicaciones Las primeras aplicaciones de la trigonometría tuvieron lugar en el campo de la astronomía y de la navegación. Hoy, además, encontramos aplicaciones en geodesia, topografía, arquitectura, en casi todas las ramas de la ingeniería para el estudio de fenómenos periódicos como el sonido, la luz, la corriente alterna, …

Gracias a la trigonometría podremos resolver problemas como éstos: Desde donde nos encontramos, vemos el punto más alto de una montaña bajo un ángulo de 56º y si nos alejamos 120 metros vemos ese mismo punto bajo un ángulo de 48º ¿Qué altura tiene la montaña? Juan y Pedro ven un globo aerostático bajo ángulos de 45° y 60°respectivamente. La distancia entre ellos es de 126 m. Halla la altura a la que se encuentra el globo.

Medida de ángulos Además de las unidades del sistema sexagesimal, utilizaremos el radián. Diremos que un ángulo central en una circunferencia mide un radián cuando el arco que abarca es igual al radio.

Equivalencias 360º = 2π radianes 180º = π radianes 90º = π/2 radianes 60º = π/3 radianes 45º = π/4 radianes 30º = π/6 radianes

Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Ejercicios Utilizando un triángulo equilátero halla sen, cos y tg de 30º y 60º Utilizando un triángulo rectángulo isósceles halla sen, cos y tg de 45º

Un sencillo modo de recordar las razones trigonométricas de algunos ángulos notables 0º 30º 45º 60º 90º sen cos

Razones trigonométricas de un ángulo α cualquiera Para extender las definiciones de sen, cos y tg de un ángulo agudo a un ángulo de cualquier medida utilizaremos una circunferencia de radio la unidad (circunferencia trigonométrica) y procederemos del siguiente modo: Sobre unos ejes cartesianos dibujaremos la circunferencia con centro en el origen de coordenadas. Situaremos el vértice del ángulo α sobre el centro de la circunferencia, el primer lado del ángulo sobre el semieje positivo de las abscisas y nos fijaremos en el punto P (x,y) en que el segundo lado corta a la circunferencia Definimos cos α = x y sen α = y

Razones trigonométricas inversas =

Identidad fundamental Observamos también que -1 ≤ sen α ≤ 1 -1 ≤ cos α ≤ 1

De la identidad anterior se deducen

Halla todas las razones trigonométricas de α sabiendo que: 1) 2)

Representación de las razones trigonométricas en la circunferencia unidad

A

A B

A B

Resolución de triángulos Conocidos tres elementos de un triángulo, siempre que al menos uno de ellos sea un lado, podremos calcular los otros tres.

Teorema de los senos: En todo triángulo ABC se verifica

Trazamos la altura desde el vértice A Trazamos la altura desde el vértice A. En los triángulos rectángulos AA´B y AA´C vemos, respectivamente, que = b sen C , es decir

Si ahora trazamos la altura desde el vértice B Si ahora trazamos la altura desde el vértice B. En los triángulos rectángulos AB´B y BB´C vemos, respectivamente, que = a sen C, es decir luego

Si el triángulo ABC está inscrito en una circunferencia sabemos que es rectángulo, por tanto

Teorema del coseno: En todo triángulo ABC se verifica que

Trazamos la altura desde B, formándose así dos triángulos rectángulos AHB y BHC

De AHB tenemos luego Por el T. de Pitágoras en BHC y en ABH luego

es decir Hemos considerado el ángulo A agudo. Si fuera obtuso se haría la demostración de modo similar.

Resuelve el triángulo ABC siendo a = 25 m b = 30 m y c = 40 m Utilizando el teorema del coseno A = 38,62º Si ahora utilizamos el teorema de los senos = 0,749 Tendríamos dos posibles valores para B

de donde La segunda opción hay que desecharla, ya que a ser c el mayor lado, C tendrá que ser el mayor ángulo

Resuelve el triángulo ABC siendo b = 4 cm, c = 11,3 cm y B =18º

Resuelve el triángulo ABC siendo b = 4 cm, c = 11,3cm y B =18º Utilizando el teorema de los senos Hay dos posibles valores para C De donde Utilizando de nuevo el teorema de los senos

Observaciones a tener en cuenta al resolver triángulos: En todo triángulo a mayor lado se opone siempre mayor ángulo. Nunca un lado puede ser mayor o igual que la suma de los otros dos. Obtenido el seno de un ángulo de un triángulo, en principio, habrá dos posibles valores del ángulo ( los dos suplementarios). Si hemos hallado el coseno el valor del ángulo es único.

Veremos ahora unas fórmulas que nos serán de mucha utilidad Razones trigonométricas de α+β

cos(α + β) = cos β · cos α - sen β · sen α AB = 1 (por construcción) AF = cos β BF = sen β AD = AB · cos(α + β) = cos(α + β) Además AD = AE - DE = AF · cos α – DE DE = BC = BF · cos(90 - α) = sen β · sen α AD = cos(α + β) = cos β · cos α - sen β · sen α

sen (α+β) = sen α cos β + cos α sen β = = -[cos (90 + α) cos β - sen (90 + α) sen β] = = - [- sen α cos β - cos α sen β] = = sen α cos β + cos α sen β

tg (α - β) = tg (α + (- β)) = =

Ángulo doble sen (2α) = sen (α + α) = = sen α cos α + cos α sen α = cos α cos α - sen α sen α = = cos2 α - sen2 α

Ángulo mitad cos α = cos 2(α/2) cos α = cos2(α/2) - sen2(α/2) sumando miembro a miembro 1 + cos α = 2cos2(α/2)

y restando 1 - cos α = 2sen2(α/2)

También es útil expresar sumas y diferencias como productos sen (α+β) = sen α cos β + cos α sen β sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β sumando sen (α+β) + sen (α - β) = 2 sen α cos β y restando sen (α+β) - sen (α - β) = 2 cosα sen β Si llamamos A = α+β y B = α-β

De modo similar cos (α + β) = cos α cosβ - sen α sen β cos (α - β) = cos α cosβ + sen α sen β sumando cos (α+β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β y restando cos (α+β) - cos (α - β) = -2 sen α sen β Si llamamos A = α+β y B = α-β

Ejercicios Halla sen 22º 30´ cos 75º tg 15º Expresa como producto sen 60º + sen 30º cos 75º - cos 45º

Funciones trigonométricas

f(x) = sen x

f(x) = sen (2x)

f(x) = sen (x/2)

f(x) = 2 sen x

f(x) = cos x

f(x) = tg(x)

f(x) = cotg x

f(x) = cosec x

f(x) = sec x

Ecuaciones trigonométricas Son ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo una forma trigonométrica. Pueden tener una apariencia compleja Ej: 6cos2x + cos2x =1 Como norma general, conviene "homogeneizar" primero el ángulo y luego la forma trigonométrica.

6 cos2 x + cos2 x - sen2 x =1 7 cos2 x - (1 - cos2 x) = 1 8 cos2 x = 2 cos2 x = 1/4 De De ( Hay cuatro soluciones en cada vuelta (entre 0 y 2π)

sen 2x = tg x Como cos x ≠ 0 (si cos x = 0 no existiría tg x y el enunciado de la ecuación no tendría sentido)

De cos x = + 1/2 x = π/3 + 2kπ y x = 5π/3 + 2kπ De cos x = - 1/2 x = 2π/3 + 2kπ y x = 4π/3 + 2kπ Hay seis soluciones en la primera vuelta: 0, π, π/3, 2π/3, 4π/3 y 5π/3

cos 3x - cos x = 0 Aquí, en lugar de homogeneizar ángulos, podríamos utilizar -2 sen 2x sen x = 0 De sen 2x = 0 2x = k π x = kπ/2 De sen x = 0 x = kπ Hay cuatro soluciones en la primera vuelta : 0, π/2, π y 3π/2

Y para finalizar volvemos a los problemas planteados al inicio Desde donde nos encontramos vemos el punto más alto de una montaña bajo un ángulo de 56º y si nos alejamos 120 metros vemos ese mismo punto bajo un ángulo de 48º ¿Qué altura tiene la montaña?

tg 48º = h/ (120 + p) tg 56º = h/p 1,11 = h/ (120 + p) 1,48 = h/p h = 1,11 (120 + p) h = 1,48 p 1,11(120 + p) = 1,48 p 133,2 = 1,48 p – 1,11 p 133,2 = 0,37 p p = 360 m h = 1,48· 360 = 532,8 m

Juan y Pedro ven un globo aerostático bajo ángulos de 45° y 60° respectivamente. La distancia entre sus ellos es de 126 m. Halla la altura a que se encuentra el globo.

tg 45º = h/a tg 60º = h/(126 – a) 1 = h/a 1,73 = h/ (126 – a) h = a 1,73 · (126 – h) = h 217,98 – 1,73 h = h 217,98 = 2,73 h h = 79,85 m a 126 -a 126 m

Contacto: jgcrisostomo74@gmail.com En Madrid, Abril de 2015