DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE GRUPO DE INVESTIGACION EN PENSAMIENTO Y EDUCACION MATEMATICA

EL NÚMERO REAL Y EL INFINITO EL NÚMERO REAL Y EL INFINITO. COMPRENSIONES DE ESTUDIANTES SECUNDARIOS Y UNIVERSITARIOS Virginia Montoro - Nora Scheuer vmontoro@gmail.com / nora.scheuer@gmail.com

En vistas a inferir sus concepciones acerca de aspectos del número real relacionados con el infinito, exploramos cómo, estudiantes con distinta formación matemática, comprenden: la representación decimal infinito-periódica de un número racional el orden y densidad de los números reales en relación a la representación decimal infinito-periódico de un número y la comparación de conjuntos infinitos de números. OBJETIVO

Participantes 167 estudiantes de secundaria (3ro; 4to y 5to año) 140 estudiantes universitarios (ingresantes y avanzados) de carreras con distinta especificidad de conocimiento matemático: Matemática, Biología y Educación Física.

Tareas y procedimientos Presentamos los resultados de tres tareas que forman parte de un cuestionario escrito, más amplio, destinado a indagar sobre la comprensión del número real. Este cuestionario constaba de 10 tareas relacionadas con el orden, la densidad, la representación en la recta y la completitud, de los números reales, la notación infinita de números y la cardinalidad de conjuntos numéricos.

Tarea 1: Representación decimal infinito-periódico de un número.

Categorización de las respuestas a la tarea 1 Caracterización de las respuestas Ejemplos % I1.1: Evitan el infinito (notación decimal infinita). No consideran que las colecciones sean infinitas (infinitos decimales) o manifiestan no saber y no justifican. Estudiante de 4to: Hay más en 0,32… porque el 32 es más grande que el 3 entonces va a haber más cantidad.   19% I1.2. Finitista no justificada (notación decimal infinita). Al comparar eligen lo que ocurriría con colecciones finitas (finitos decimales) sin embargo no justifican su pensamiento. Estudiante de EFI: Hay más en 0,333… no sé cómo explicarlo 6% I1.3. Finitista explicita (notación decimal infinita). Al comparar lo hacen (explícitamente) considerando lo que ocurriría con colecciones finitas (observan lo que ocurre con finitos decimales) Estudiante de 4to: Hay más en 0,333… Porque en el 0,32… se repetía además del 3, el 2, por lo tanto, es posible que se repita la mitad de veces que en el 0,3…. 17% I1.4. Infinito como indefinida (notación decimal infinita). Consideran que las colecciones (por infinitas) no se pueden comparar. Evidencian una idea de que lo infinito es equivalente a lo sin límite, sin reglas, indefinido. Estudiante de MI: Son incomparables. Porque si los decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales, no las podría contar para compararlas 32% I1.5. Infinitista. Único infinito. Consideran que existe una única cantidad infinita, por la tanto hay la misma cantidad “infinita” en ambas colecciones. Estudiante de MA: Iguales. Hay infinitos en los dos casos 24% I1.6. Infinito Cardinal (notación decimal infinita). Consideran que ambas colecciones son equipotentes (en el sentido cantoriano), comparando por relación uno a uno entre ambas colecciones. Estudiante de MA: El conjunto de cifras 3 para estos números están en biyección: tienen igual cardinalidad 2%

Tarea 2: Orden y densidad de los números reales en relación a la representación decimal infinito-periódico de un número.

Categorización de las respuestas a la tarea 2 Caracterización de la concepción Ejemplos % I2.1: Evitan el infinito (número periódico). No contestan o manifiestan no saber o que no se pueden comparar sin más justificación. Estudiante de 4to. Incomparables, son incomparables    9% I2.2. Finitista no justificada (número periódico). Eligen la opción en que manifiesta que no se está teniendo en cuenta las infinitas cifras decimales en forma actual sin explicar su razonamiento. Estudiante de 4to MI: 0,99…menor que 1, porque es obvio  14% I2.3. Finitista - Centrada en la representación externa finita. Comparan (explícitamente) por razones válidas para representaciones externas decimales finitas.   Estudiante de 4to BI: 0,99…menor que 1, porque es un decimal que empieza con "0" y 0 es menor que 1.   18% I2.4. Discretitud explicita o redondeo (número periódico). Comparan explicitando razones que hacen pensar en un salto discreto entre los dos números o por la posibilidad de redondeo. Estudiante de BI: 0,999… menor que 1, porque es el anterior en su correlatividad antes de llegar al 1. 15% I2.5. Infinito potencial (número periódico). Aluden a las infinitas cifras decimales, como un proceso sinfín; proceso que no termina.   Estudiante de 5to: 0,999…menor a 1, porque se va a acercar siempre pero nunca va a ser 1 por el famoso “infinitos decimales” 37% I2.6. Infinitista no explicada (número periódico). Al comparar eligen la opción correcta si se consideran las (actualmente) infinitas cifras sin embargo no justifican su pensamiento.  Estudiante de MI: Iguales, no sé.    3% I2.7. Infinito actual (número periódico). Consideran las infinitas cifras decimales como actualmente infinitas ya sea justificación mediante una “prueba” o por la densidad de los números reales. Estudiante de MI: Igual, porque entre estos dos números no hay otro. Por lo tanto, son el mismo. 4%

Tarea 3: Infinito cardinal en el contexto de la comparación de la cardinalidad de conjuntos infinitos de números.

Categorización de las respuestas a la tarea 3 Caracterización de la concepción Ejemplos % I3.1: Evitan el infinito (comparando conjuntos). No responden mayormente la tarea o manifiestan no saber o que no se pueden comparar sin más justificación. Estudiante de EFI: Más no-capicúas que capicúa / no sé. No contesta, ni justifica los otros cuatro ítems.   28% I3.2. Los enteros como modelo de inclusión (comparando conjuntos). Solo comparan (por inclusión) las parejas de conjuntos donde figuran los enteros. No se apropian del resto de conjuntos.   Estudiante de 3ro: Más no-capicúas que capicúa, porque son más los números no capicúas. Más pares que primos, no sé. Más enteros que naturales, porque los naturales están dentro de los enteros. Más racionales que enteros, porque los racionales abarcan a los enteros. Más racionales que irracionales, porque abarcan más números y más conjuntos numéricos. 17% I3.3. Finitista no justificada (comparando conjuntos). Al comparar eligen lo que ocurriría al comparar conjuntos finitos (un intervalo finito o acotado de números), sin embargo, no justifican su pensamiento. Estudiante de 4to año: Más no-capicúas que capicúas / porque hay más números no capicúas que capicúas. Igualmente, abundantes pares que primos / porque son la misma cantidad. Enteros y naturales son incomparables / porque las dos clases de números son infinitos. Enteros/racionales no contesta ni justifica. Más irracionales que racionales / porque creo que hay más cantidad. I3.4. Finitista explícita (comparando conjuntos). Manifiestan un tipo de comprensión finitista, apelando a lo que ocurre en un intervalo finito o acotado de números. Dan justificaciones por razones finitistas, salvo en el caso de naturales/enteros que se justifica por inclusión. Estudiante de BI: Más no-capicúas que capicúa, ya que cada una cierta cantidad de no capicúas hay uno capicúa por lo tanto la cantidad de no capicúas es mayor. Más pares que primos, porque por cada número par no hay un primo, sino que cada algún par aparece uno primo por lo tanto los pares son más abundantes. Más enteros que naturales, porque no solo posee infinitos números positivos, sino que también los posee en negativos. Más racionales que enteros, porque entre dos números enteros hay infinitos racionales entre ellos. Por lo tanto, los fraccionales son más abundantes. Más irracionales que racionales, porque por cada número racional hay infinitos irracionales por lo tanto estos son más abundantes. 13%

Categorización de las respuestas a la tarea 3 (CONT.) Caracterización de la concepción Ejemplos % I3.5. Infinito como indefinido (comparando conjuntos). Consideran que los conjuntos (por infinitos) no se pueden comparar. Evidencian una idea de que lo infinito es equivalente a lo sin límite, sin reglas, indefinido. Estudiante de 5to: Responde en las cinco comparaciones que no se pueden comparar / porque la cantidad de números es infinita así que no se podría saber exactamente cuál es más abundante. 3% I3.6. Único infinito (comparando conjuntos). Consideran que existe una única cantidad infinita, por la tanto todos los conjuntos infinitos son igualmente abundantes (con una cantidad “infinita” de elementos). Estudiante de MA: Igualmente abundantes para las cinco comparaciones. Justificando en todos los casos con la frase: ambos son infinitos, aunque sean conjuntos densos o discretos. 8% I3.7. Infinito cardinal (comparando conjuntos). Consideran, de forma matemáticamente correcta, que todos los conjuntos numerables son igualmente abundantes y que hay (infinitamente) más irracionales que racionales, en el sentido de la cardinalidad cantoriana. Estudiante de MA: Igualmente abundantes para capicúas/no-capicúas; primos / pares; naturales / enteros y enteros/ racionales. Justificando en todos estos casos con la frase: son numerables. Más irracionales que racionales / porque tienen distinta cardinalidad (Alef).  

Asociaciones entre los modos de respuesta a las tres tareas y con el Nivel de Estudio de Matemática de los estudiantes

Ajenidad, Inseguridad y Evasión del infinito EFI ---- 3ro . Clase 1: N=21 (7%). Ajenidad, Inseguridad y Evasión del infinito EFI ---- 3ro no hay ningún estudiante de MA, BA o BI.

Finitistas explícitos – Evitan los conjuntos infinitos . Clase 2: N=54 (18%). Finitistas explícitos – Evitan los conjuntos infinitos El 67% de la clase son estudiantes de secundaria no hay ningún/a estudiante de MA o de BA

Finitistas e infinito como indefinido . Clase 3. N=79 (25%). Finitistas e infinito como indefinido 3ro, 4to y 5to

Razones Finitistas (no explicadas) - Discretitud Clase 4. N=58 (19%). Razones Finitistas (no explicadas) - Discretitud MI y BI.

Infinito potencial. Mediada por el uso Clase 5 N=39 (13%). Infinito potencial. Mediada por el uso BA

Clase 6: N=42 (13%). Único infinito

Clase 7: N=14 (5%) Infinito Actual MA

Encontramos un gradiente de profundidad AJENIDAD respecto al infinito. 7% de la población principalmente con menor nivel de estudios de matemática. CONCEPCION FINITISTA. 62% de los estudiantes dan razones finitistas al operar con colecciones infinitas, algunos en forma explícita y otros sin justificación; algunos evitando la comparación de conjuntos infinitos, otros considerando el infinito como indefinido otros considerando a los reales como discretos CONCEPCION INFINITSTA. Un 13% considera un infinito potencial y su concepción esta mediada por la utilidad de los números reales, asociados a BA. El 13% del total concebía el cardinal de los conjuntos infinitos como una única cantidad infinita. El otro 5% considera la posibilidad del infinito actual y de diferentes cardinales infinitos

Mostramos la diversidad de ideas que pueden operar en un mismo grupo de estudiantes, lo que pone de manifiesto que para promover que los estudiantes puedan apropiarse del concepto de infinito que subyace en el de número real es indispensable que la enseñanza prevea entre sus metas para los últimos años de secundaria y primeros años de la universidad una explicitación de las nociones que atañen al infinito matemático, de modo de facilitar el pasaje de una matemática escolar a una matemática avanzada.

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