TRIÁNGULOS

4 Polígonos Triángulos: clasificación 1 Triángulos: clasificación Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 1 Triángulos: clasificación Triángulos: clasificación Clasificación según sus lados Clasificación según sus ángulos Triángulo equilátero Triángulo rectángulo Triángulo isósceles Triángulo acutángulo Triángulo escaleno Triángulo obtusángulo

4 Elementos notables de los triángulos (I) Polígonos 1 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 1 Rectas y puntos notables de los triángulos (I) Elementos notables de los triángulos (I) Altura Mediana Es la perpendicular trazada a un lado desde el vértice opuesto Es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto Ortocentro Baricentro Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Es el centro de gravedad del mismo y está a una distancia de los vértices igual a los dos tercios de la longitud total de la correspondiente mediana.

4 Elementos notables de los triángulos (II) Polígonos 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 2 Rectas y puntos notables de los triángulos (II) Elementos notables de los triángulos (II) Bisectriz Mediatriz Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales Es la perpendicular trazada a un lado por su punto medio Incentro Circuncentro Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo

4 Bisectrices exteriores Polígonos 3 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 3 Otros triángulos y rectas notables: bisectrices exteriores Bisectrices exteriores Bisectrices exteriores Son las bisectrices de los ángulos exteriores El punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita Los puntos de intersección de las tres bisectrices exteriores de un triángulo son los centros de las circunferencias exinscritas

4 Triángulos órtico, complementario y podar Polígonos Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO Otros triángulos y rectas notables: triángulos órtico, complementario y podar 4 Triángulos órtico, complementario y podar Triángulo órtico C B A E Compuesto por los pies de las tres alturas de un triángulo F D C B A Triángulo complementario Compuesto por los puntos medios de los lados de un triángulo D F E C A B Triángulo podar respecto de un punto P D F Compuesto por los pies de las perpendiculares a los lados trazadas desde P P E

4 Polígonos Construcción de triángulos 5 Construcción de triángulos Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 5 Construcción de triángulos Construcción de triángulos Construir un triángulo conociendo sus tres lados Construir un triángulo conociendo la altura 1. Sobre una recta se toma uno de los lados 1. Se divide la altura en tres partes iguales 2. Con centro en C y radio CB se traza una circunferencia 2. Con centro en A y radio igual al segundo lado, se traza un arco 3. Por el punto A se traza la perpendicular a la altura AB 3. Con centro en B y radio igual al tercer lado se traza otro arco

4 Polígonos Construcción de triángulos isósceles (I) 6 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 6 Construcción de triángulos isósceles (I) Construcción de triángulos isósceles (I) Construir un triángulo isósceles conociendo la base y la altura Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y la altura 1. Sobre una recta se toma la base 1. Sobre una recta se toma un punto A y se traza la perpendicular 2. Se traza la mediatriz del segmento AB 2. A partir de A se traslada la altura 3. A partir de C se lleva la altura 3. Haciendo centro en B y radio igual al lado se traza un arco

4 Polígonos Construcción de triángulos isósceles (II) 7 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 7 Construcción de triángulos isósceles (II) Construcción de triángulos isósceles (II) Construir un triángulo isósceles conociendo la base y un ángulo adyacente Construir un triángulo isósceles conociendo la base y el ángulo opuesto 1. Sobre una recta se toma la base 1. Sobre una recta se toma la base 2. En A se transporta el ángulo dado 2. Se traza la mediatriz de AB 3. En B se transporta el ángulo dado 3. Sobre un punto C cualquiera se construye el ángulo dado 4. Por A y B se trazan paralelas al ángulo

4 Polígonos Construcción de triángulos rectángulos 8 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 8 Construcción de triángulos rectángulos Construcción de triángulos rectángulos Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y el ángulo opuesto 1. Sobre una recta r se coloca el cateto 1. Sobre una recta r se coloca el cateto 2. Por A se traza la perpendicular a AB 2. Por A se traza la perpendicular a AB 3. Con centro en B y radio la hipotenusa se traza un arco 3. Por un punto arbitrario C se traslada el ángulo dado 4. Por B se traza la paralela al lado del ángulo

Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y el ángulo comprendido entre los mismos. Con centro en el vértice A del ángulo, describir un arco de radio igual a los lados conocidos, el cual corta a los lados del ángulo en B y C, vértices del triángulo.

Construir un triángulo isósceles dada la suma de la altura y uno de los lados iguales, así como el ángulo opuesto a la base. Se levanta sobre una recta base indefinida una perpendicular de longitud igual a la suma conocida. Por el extremo E se construye un ángulo igual a la cuarta parte del dado, obteniendo con ello sobre la recta base el vértice B. El A se determina trazando la mediatriz al segmento E B, Y el C por simetría del B respecto a D, o mediante un arco de centro en A y radio A B.

Trácense la altura A M Y el semiperímetro M N formando ángulo recto. Construir un triángulo isósceles conocido el semiperímetro (p) y la altura (h). Trácense la altura A M Y el semiperímetro M N formando ángulo recto. La mediatriz del segmento A N determina sobre M N el vértice C obteniéndose el B por simetría de C respecto a M

Construir un triángulo rectángulo isósceles, dada la hipotenusa. Con diámetro igual a la hipotenusa, dada, trazar una semicircunferencia. La mediatriz al diámetro determina sobre la semicircunferencia el vértice del ángulo recto. Todo ángulo inscrito en media circunferencia tiene por valor 90°, puesto que el ángulo inscrito vale la mitad del central correspondiente. De aquí que el arco capaz de un ángulo recto es una semicircunferencia,

Construir un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos. Trazar por el extremo de uno de ellos una perpendicular de longitud igual al otro cateto. Unidos entre sí los dos extremos libres, queda definida la hipotenusa de dicho triángulo.

Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos Se toma un segmento DC igual a la suma b + c de los dos catetos, construyendo en uno de sus extremos D, un ángulo de 45°, y con centro en el otro ex­tremo C se describe un arco de radio igual a la hipotenusa dada Este arco corta al lado oblicuo del ángulo en el vértice B. El vértice A se obtiene trazando una perpendicular a D C desde B. El punto B' donde el arco también corta a D B, nos proporciona otra solución, que es simétrica a la obtenida.

Construir un triángulo rectángulo dadas la mediana ma y la altura ha correspondientes a la hipotenusa Dado que la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide dos veces su mediana correspondiente, el problema se reduce a la construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. Para ello, tómese por hipotenusa un segmento BC igual a dos veces ma describiendo con centro en su punto medio Ma una semicircunferencia. Trazando una paralela a BC a una distancia igual a ha queda determinado, en su intersección con la semicircunferencia, el vértice A. La intersección A' produce otra solución simétrica.

Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de los cateto A un segmento DC,igual a la diferencia de catetos conocida, construir en uno de sus extremos y sobre su prolongación un ángulo de 45°, trazando con centro en el otro extremo, y radio igual a la longitud dada para la hipotenusa, un arco, que cortará al lado libre del ángulo en el vértice B. La perpendicular trazada por B a la prolongación de DC nos determina el vértice A.

Construir un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes al mismo Situar el lado dado como base del triángulo, construyendo en sus extremos ángulos respectivamente iguales a los dados.

Construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Construir un ángulo igual al dado, transportando sobre uno de sus lados la magnitud de uno de los lados conocidos, obteniendo el punto C. Con centro en dicho punto y radio igual al otro lado, describir un arco que determinará el tercer vértice del triángulo al cortar al lado tomado como base del triángulo. Este problema puede tener dos, una o ninguna solución, dependiendo ello de que el lado a sea mayor, igualo menor respectivamente que la distancia del vértice C a la base.

CUADRILÁTEROS

4 Polígonos Cuadriláteros: clasificación 9 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 9 Cuadriláteros: clasificación Cuadriláteros: clasificación Paralelogramos Trapecios Cuadrado Isósceles Rectángulo Rectángulo Rombo Escaleno Romboide Trapezoide

A + B = Ω/2 +β/2=360º/2=180º CUADRILÁTERO INSCRIBIBLE Se llama así al cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia . En un cuadrilátero inscribible sus ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman 180°. Recíprocamente, un cuadrilátero que tenga sus ángulos opuestos suplementarios es inscribible. A + B = C + D = 180° Teniendo en cuenta que el valor de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco:  A + B = Ω/2 +β/2=360º/2=180º CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE: Se denomina así al cuadrilátero en el que se puede inscribir una circunferencia. En un cuadrilátero circunscribible la suma de los lados opuestos vale lo mismo. Recíprocamente, un cuadrilátero cuya suma de lados opuestos valga lo mismo es circunscribible. A+C=B+D Teniendo en cuenta que si trazamos desde un punto exterior las tangentes a una circunferencia, las distancias desde el punto exterior a los puntos de tangencia valen lo mismo, es fácil demostrar la igualdad anterior.

A+B=C+D=a/2+b/2=(a+b)/2=360º/2=180º 4 Polígonos Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 5 Cuadrilátero inscribible y circunscribible Cuadriláteros Inscribible A Cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia Es inscribible si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios: A+B=C+D=180º A+B=C+D=a/2+b/2=(a+b)/2=360º/2=180º a b O C D B Circunscribible A B C D G Cuadrilátero que se puede circunscribir en una circunferencia H Es circunscribible si y solo si la suma de los lados opuestos vale lo mismo A+B=C+D O E F

4 Polígonos Construcción de cuadrados 10 Construcción de cuadrados Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 10 Construcción de cuadrados Construcción de cuadrados Construir un cuadrado conociendo el lado Construir un cuadrado conociendo la diagonal 1. Sobre una recta se dibuja el lado 1. Se dibuja la diagonal 2. Por A se dibuja la perpendicular 2. Se traza la mediatriz de AC 3. Con centro en A y radio AB se dibuja un arco 3. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC 4. El cuarto vértice se halla trazando arcos de radio AB

4 Polígonos Construcción de rectángulos 11 Construcción de rectángulos Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 11 Construcción de rectángulos Construcción de rectángulos Construir un rectángulo conociendo la suma de los lados y la diagonal Construir un rectángulo conociendo un lado y la diagonal 1. Se dibuja el segmento AE igual a la suma 2. Por un extremo se traza una recta a 45º 1. Se dibuja la diagonal AC 3. Con centro en A y radio la diagonal, se traza un arco 2. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC 4. Por C se traza la perpendicular a AE 3. Con centros en A y C y radio el lado se trazan dos arcos 5. El cuarto vértice se halla trazando arcos

4 Polígonos Construcción de rombos 12 Construcción de rombos Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 12 Construcción de rombos Construcción de rombos Construir un rombo conociendo el lado y una diagonal Construir un rombo conociendo un ángulo y su diagonal 1. Se dibuja la diagonal AC 1. Se construye el ángulo dado 2. Con centro en A y radio el lado se dibuja un arco 2. Se traza la bisectriz del ángulo 3. Sobre la bisectriz se traslada la diagonal 3. Con centro en C y radio el lado se dibuja otro arco 4. Por C se trazan paralelas a los lados del ángulo

4 Polígonos Construcción de romboides 13 Construcción de romboides Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 13 Construcción de romboides Construcción de romboides Construir un romboide conociendo sus lados y un ángulo Construir un romboide conociendo sus lados y la altura 1. Se dibuja el ángulo dado 1. Se dibuja el lado AB 2. Sobre los lados del ángulo se transportan las dimensiones de los lados 2. Se traza la perpendicular al lado AB 3. Sobre la perpendicular se traslada la altura 3. El cuarto vértice se halla trazando dos arcos de radio igual a los lados 4. Por E se traza la paralela a AB 5. Con centros en A y B y radio el otro lado se trazan dos arcos

4 Polígonos Construcción de trapecios 14 Construcción de trapecios Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 14 Construcción de trapecios Construcción de trapecios Construir un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados Construir un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales 1. Se dibuja el primero de los lados AB 1. Se dibuja una de las bases AB 2. Sobre AB se traslada el lado opuesto AE 2. Al lado AB se le suma el lado opuesto 3. Con centro en E y radio igual al tercer lado se dibuja un arco 3. Con centro en A y radio una diagonal, y centro en E y radio la otra diagonal se dibujan dos arcos 4. Con centro en B y radio igual al cuarto lado se dibuja un arco 4. Por C se traza una paralela a la base AB 5. Con centro en A y C y radios EC y AE respectivamente se dibujan dos arcos 5. Con centro en B y radio EC se dibuja un arco

Polígonos Regulares

4 Polígonos Definición y clasificación 15 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 15 Polígonos regulares / Definición y clasificación Definición y clasificación Clasificación Triángulo equilátero: 3 lados Cuadrado: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Definición Undecágono: 11 lados Es el espacio limitado por una línea quebrada, cerrada y plana Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Líneas notables AB: Lado h: Altura R: Radio d’: Diagonal a: Apotema p: Perímetro

4 Polígonos Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio 6 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 6 División de la circunferencia en 3, 6, 12,... partes iguales Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio Hexágono Con centro en A y G se trazan dos arcos del mismo radio Otros polígonos: Triángulo equilátero Dodecágono

4 Polígonos Polígono de 4, 8 ó 16 lados, conociendo el radio 7 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 7 División de la circunferencia en 4, 8, 16,... partes iguales Polígono de 4, 8 ó 16 lados, conociendo el radio Cuadrado Se traza la mediatriz del diámetro AE Otros polígonos Octógono

4 Polígonos Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio 8 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 8 División de la circunferencia en 5, 10,... partes iguales Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio Pentágono 1. Se traza la mediatriz del radio OL 2. Con centro en M y radio MA se traza un arco. AN es el lado del pentágono 3. Con centro en A y radio AN se traza otro arco Otros polígonos Decágono

4 Polígonos Polígono de 7 ó 14 lados, conociendo el radio 9 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 9 División de la circunferencia en 7, 14,... partes iguales Polígono de 7 ó 14 lados, conociendo el radio Heptágono Se traza la mediatriz del radio OA El segmento PS es el lado del heptágono Otros polígonos Polígono de catorce lados

4 Polígonos Polígono de 9 ó 18 lados, conociendo el radio 10 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 10 División de la circunferencia en 9, 18,... partes iguales Polígono de 9 ó 18 lados, conociendo el radio Eneágono 1. Con centro en K y radio KO se traza un arco 2. Con centro en J y radio JL se traza otro arco 3. Con centro en M y radio MK se traza otro arco 4. AN es el lado del eneágono

4 Polígonos Polígono de 5 lados, conociendo el lado 11 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 11 Construcción de un pentágono Polígono de 5 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Por B se traza la perpendicular a AB 3. Con centro en B y radio AB se traza un arco 4. Con centro en F y radio FG se traza otro arco 5. Con centro en A y radio AH se traza un tercer arco 6. El vértice E se halla trazando dos arcos de radio AB

4 Polígonos Polígono de 7 lados, conociendo el lado 12 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 12 Construcción de un heptágono Polígono de 7 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Por B se traza la perpendicular a AB 3. Con vértice en A se construye un ángulo de 30º 4. Con centro en A y radio AH se traza un arco 5. Con centro en O y radio OA se dibuja una circunferencia

4 Polígonos Polígono de 8 lados, conociendo el lado 13 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 13 Construcción de un octógono Polígono de 8 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Con centro en I y diámetro AB se traza una circunferencia 3. Con centro en J y radio JB se traza otra circunferencia 4. Con centro en O y radio OA se traza una tercera circunferencia 5. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB

4 Polígonos Polígono de 9 lados, conociendo el lado 14 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 14 Construcción de un eneágono Polígono de 9 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Con centro en A y radio AB se traza un arco 3. Con centro en J y radio JB se traza otro arco 4. Con centro en K y radio KJ se traza un tercer arco 5. Se traza la mediatriz de AF 6. Con centro en O y radio OA se traza una circunferencia 7. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB

4 Polígonos Polígonos de n lados, conociendo el radio 16 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 16 Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el radio Polígonos de n lados, conociendo el radio 1. Se divide el diámetro en n partes 2. Con centro en A y radio AL se traza un arco 3. Con centro en L y radio AL se traza un arco 4. Se une M con el punto número 2 5. AB es el lado del polígono

4 Polígonos Polígonos de n lados, conociendo el lado 17 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 17 Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el lado Polígonos de n lados, conociendo el lado 1. Se construye un polígono de n lados de radio arbitrario 2. Sobre la recta LQ se lleva el valor del lado 3. Por R se traza la paralela a OL 4. Se traza la circunferencia de centro O y radio OB 5. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB

4 Polígonos Polígonos de n lados, conociendo el lado (II) 18 Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO 18 Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el lado Polígonos de n lados, conociendo el lado (II) Dado el segmento AB 1. Con radio AB y centros en A y en B se trazan dos arcos para hallar el punto O de la mediatriz 2. O es el centro del hexágono de lado AB C 9 8 7 12 11 10 3. Localizar el punto C de intersección de la circunferencia de centro O y radio OB con la mediatriz de AB 4. Se divide el radio OC en seis partes iguales obteniendo los puntos 7,8,... y 12 O 5. Estos puntos son los centros de las circunferencias circunscritas a los polígonos de 7,8,….11 y 12 lados A B

4 Polígonos Polígonos estrellados (I) 15 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 15 Construcción de un octógono regular estrellado Polígonos estrellados (I) 1. Se divide la circunferencia en un número de partes iguales 2. Se unen los vértices de manera no consecutiva El número de polígonos estrellados que hay de un determinado número de vértices es el siguiente: Siendo: v: Número de vértices p: Número de polígonos estrellados n: Forma de unir los vértices El trazado debe comenzar en un vértice y, recorriendo todos, debe cerrar en el que se comenzó

4 Polígonos Polígonos estrellados (II) 16 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 16 Construcción de un eneágono regular estrellado Polígonos estrellados (II) Eneágono regular estrellado Existen dos polígonos regulares estrellados de nueve vértices: 1. Uniendo los vértices de dos en dos 2. Uniendo los vértices de cuatro en cuatro