EQUIPO DE DOCENTES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Variable aleatoria discreta

PROPÓSITO Explicar y diferenciar las principales distribuciones de probabilidad para variable aleatoria discreta: Binomial, Hipergeométrica y Poisson. Identificar las condiciones que se deben de tomar en cuenta para la aplicación de cada una de estas distribuciones de probabilidad. Calcular e interpretar probabilidades haciendo uso de las distribuciones mencionadas.

Una distribución de probabilidad binomial resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1.El procedimiento tiene un número fijo de ensayos. 2.Los ensayos deben ser independientes. (El resultado de cualquier ensayo individual no afecta las probabilidades de los demás ensayos). 3.Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos categorías (generalmente llamadas éxito y fracaso). 4.La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

E y F (éxito y fracaso) denotan las dos categorías posibles de todos los resultados: n :denota el número fijo de ensayos. x :denota un número específico de éxitos en “n” ensayos, de manera que “x” puede ser cualquier número entero entre 0 y “n” inclusive. p :denota la probabilidad de éxito en uno de “n” ensayos. q :denota la probabilidad de fracaso en uno de “n” ensayos. P(x) : denota la probabilidad de lograr exactamente “x” éxitos en los n ensayos. La media y varianza de la variable aleatoria binomial son, respectivamente:

Ejemplo 1: La probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0,20. Si un agente de ventas visita 6 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas? ÉxitoCliente que realiza la compra Probabilidad de éxito (p)0,20 Probabilidad de fracaso (q)0,80 Número de ensayos (n)6 Número de éxitos en los “n” ensayos (x)4

Ejemplo 2: Una casa de empeño informó que el 30% de los préstamos garantizados con joyería vencieron. Si se toma una muestra aleatoria de 4 préstamos, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno esté vencido? ÉxitoPréstamo que está vencido Probabilidad de éxito (p)0,30 Probabilidad de fracaso (q)0,70 Número de ensayos (n)4 Número de éxitos en los “n” ensayos (x)0 (ninguno)

Ejemplo 3: El 18% de los tornillos producidos por una máquina están defectuosos. Determinar la probabilidad de que de 5 tornillos seleccionados aleatoriamente por lo menos 3 estén defectuosos. ÉxitoTornillo defectuoso Probabilidad de éxito (p)0,18 Probabilidad de fracaso (q)0,82 Número de ensayos (n)5 Número de éxitos en los “n” ensayos (x)3; 4 y 5 (por lo menos 3)

Ejemplo 4: La probabilidad de encontrar un pantalón con algún desperfecto de la producción total de una máquina remalladora es de 0,24. Si se extrae una muestra de 4 pantalones, calcule la media y la varianza de la distribución. Media: Varianza: ÉxitoPantalón con desperfecto Probabilidad de éxito (p)0,24 Probabilidad de fracaso (q)0,76 Número de ensayos (n)4

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Una distribución de probabilidad hipergeométrica resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1.El procedimiento tiene un número fijo de ensayos. 2.Los ensayos deben ser dependientes. (El resultado de cualquier ensayo individual sí afecta las probabilidades de los demás ensayos). 3.Todos los resultados de cada ensayo deben estar clasificados en dos categorías (generalmente llamadas éxito y fracaso). 4.La probabilidad de un éxito no permanece igual en todos los ensayos.

E y F (éxito y fracaso) denotan las dos categorías posibles de todos los resultados: r :denota el número fijo de éxitos en la población. x :denota un número específico de éxitos en la muestra de tamaño “n”, de manera que “x” puede ser cualquier número entero entre 0 y “n” inclusive. N :denota el número de elementos de la población. n : denota el número de elementos de la muestra. P(x) : denota la probabilidad de obtener exactamente “x” éxitos al extraer la muestra de tamaño “n”. La media y varianza de la variable aleatoria hipergeométrica son, respectivamente:

Ejemplo 1: Una caja de 10 focos contiene 2 defectuosos y 8 no defectuosos. Si se eligen al azar y sin reposición 3 focos de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente un foco defectuoso? ÉxitoFoco defectuoso Número de elementos de la población (N)10 Número de elementos de la muestra (n)3 Éxitos en la población (r)2 Éxitos en la muestra (x)1

Ejemplo 2: En una caja de 25 vasos, 7 tienen rajadura. Si se venden 6 vasos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en esa muestra todos los vasos estén rajados? ÉxitoVaso rajado Número de elementos de la población (N)25 Número de elementos de la muestra (n)6 Éxitos en la población (r)7 Éxitos en la muestra (x)6 (todos)

Ejemplo 3: De 14 obreros, 6 cuentan con equipos de protección personal durante toda la jornada laboral. Si de este grupo de 14 se elige aleatoriamente una cuadrilla de 5 obreros, ¿qué probabilidad hay de que a lo más 3 cuenten con equipos de protección personal? ÉxitoCuenta con equipo de protec. Número de elementos de la población (N)14 Número de elementos de la muestra (n)5 Éxitos en la población (r)6 Éxitos en la muestra (x)0; 1; 2 y 3 (A lo más 3)

Ejemplo 4: Se tiene una caja de 10 focos con 2 defectuosos y 8 no defectuosos. Se han extraído al azar y sin devolución 3 focos de la caja. Calcule la cantidad media de focos defectuosos que se espera obtener y la varianza. Media Varianza ÉxitoFoco defectuoso Número de elementos de la población (N)10 Número de elementos de la muestra (n)3 Éxitos en la población (r)2

DISTRIBUCIÓN POISSON Una distribución de probabilidad Poisson resulta de un procedimiento que cumple con todos los siguientes requisitos: 1.El experimento consiste en contar el número “x” de veces que ocurre un evento en particular durante una unidad de tiempo dada, o en un área o volumen dado. 2.La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, área o volumen es la misma para todas las unidades. 3.El número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área o volumen es independiente del número de los que ocurren en otras unidades. 4.El número medio (o esperado) de eventos en cada unidad se denota por la letra griega (“lambda”)

:denota el número medio de eventos que ocurren en una unidad dada de tiempo, área o volumen. x :denota un número específico de eventos que ocurren durante una unidad dada de tiempo, área o volumen. e :denota la constante matemática “épsilon” x! :denota el factorial de “x” P(x) : denota la probabilidad de que ocurran “x” eventos en una unidad dada de tiempo, área o volumen. La media y varianza de la variable aleatoria Poisson son, respectivamente:

Ejemplo 1: En un centro telefónico de atención a clientes se reciben en promedio 5 llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente se reciban exactamente 3 llamadas? Media ( ) 5 llamadas por hora Número de eventos esperados (x)3 llamadas en una hora

Ejemplo 2: En una tienda departamental, en la sección de electrodomésticos, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas al encargado. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 personas se acerquen al encargado a hacer preguntas en un periodo de 10 minutos? Media ( ) 12 personas en una hora2 personas en 10 minutos Número de eventos esperados (x)3 personas en 10 minutos

Ejemplo 3: Un libro de 500 páginas tiene 200 errores de impresión distribuidos aleatoriamente. Calcule la probabilidad de que cualquier página elegida al azar tenga un error. Luego calcule la media y la varianza de esta distribución. Media ( ) 200/500 = 0,40 Número de eventos esperados (x)1 página (cualquier página)

1) ¿Qué aprendí? 2) ¿Cómo aprendí? 3) ¿Para qué aprendí? 4) ¿Qué me falta aprender? Distribuciones de probabilidad de variable aleatoria discreta Identificando características Analizando Calculando Transformando valores Interpretando Para calcular probabilidades haciendo uso de modelos probabilísticos de variable aleatoria discreta. ¿Cómo se calculan probabilidades haciendo uso de modelos probabilísticos de variable aleatoria continua?