Organización del Computador 1 Lógica Digital 1 Algebra de Boole y compuertas

Representación de la Información  La computadoras necesitan almacenar datos e instrucciones en memoria  Sistema binario (sólo dos estados posibles)  Por qué? Es mucho más sencillo identificar entre sólo dos estados Es mucho más sencillo identificar entre sólo dos estados Es menos propenso a errores Es menos propenso a errores

Lógica digital  Los circuitos operan con valores [0, 1], que pueden ser interpretados lógicamente como [Falso, Verdadero].  Idea: implementar las operaciones lógicas y matemáticas combinando circuitos

George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formalizar la lógica proposicional. El libro se llama “Análisis matemático de la lógica”. George Boole Algebra de Boole El sistema consiste en un cálculo para resolver problemas de lógica proposicional (dos valores posibles [0, 1] y tres operaciones: AND (y) OR (o) NOT (no) )

Las variables Booleanas sólo toman los valores binarios: 1 ó 0. Una variable Booleana representa un el balor que puede tomar un bit, que como vimos quiere decir: Binary digIT Algebra de Boole

Operadores básicos  Un operador booleano puede ser completamente descripto usando tablas de verdad.  El operador AND es conocido como producto booleano (.) y el OR como co-producto booleano (+)  El operador NOT (¬ ó una barra encima de la expresión) conocido como complemento.

Funciones booleanas  Tabla de verdad de esta función:  El NOT tiene más precedencia que el resto de los operadores  Y el AND más que el OR

Identidades del Algebra de Boole Identidad1.A=A0+A=A Nula0.A=01+A=1 IdempotenciaA.A=AA+A=A InversaA.˜A=0A+˜A=1 ConmutativaA.B=B.AA+B=B+A Asociativa(A.B)C=A.(B.C)(A+B)+C=A+(B+C) DistributivaA+B.C=(A+B).(A+C)A.(B+C)=A.B+A.C AbsorciónA.(A+B)=AA+A.B=A De Morgan ˜(A.B) = ˜A+˜B ˜(A+B) = ˜A.˜B

Ejemplo  Usando identidades booleanas podemos reducir esta función: (X+Y)(X+  Y)(  X+Z) DeMorgan (XX + X  Y+YX+Y  Y)(  X+Z) Distributiva (X + X  Y+YX + 0) (  X+Z) Indempotencia e Inversa (X + X(  Y+Y)) (  X+Z) Nula y Distributiva (X) (  X+Z) Inversa, Identidad y Nula X  X+XZ Distributiva XZ Inversa e Identidad

Fórmulas equivalentes  Varias fórmulas pueden tener la misma tabla de verdad Son lógicamente equivalentes Son lógicamente equivalentes  En general se suelen elegir formas normales Suma de productos: Suma de productos: F(x,y,z) = xy + xz +yzF(x,y,z) = xy + xz +yz Producto de sumas: Producto de sumas: F(x,y,z) = (x+y). (x+z).(y+z)F(x,y,z) = (x+y). (x+z).(y+z)

Suma de Productos  Es fácil convertir una función a una suma de productos usando la tabla de verdad.  Elegimos los valores que dan 1 y hacemos un producto (AND) de la fila (negando si aparece un 0)  Luego sumamos todo (OR) F(x,y,z) = (¬xy¬z)+(¬xyz)+(x¬y¬z)+(xy¬z)+(xyz)

Circuitos booleanos  Las computadores digitales contienen circuitos que implementan funciones booleanas  Cuando más simple la función más chico el circuito Son más baratos, consumen menos, y en ocasiones son mas rápidos! Son más baratos, consumen menos, y en ocasiones son mas rápidos!  Podemos usar las identidades del algebra de Boole para reducir estas funciones.

Compuertas lógicas  Una compuerta es un dispositivo electrónico que produce un resultado en base a un conjunto de valores de valores de entrada En realidad, están formadas por uno o varios transitores, pero lo podemos ver como una unidad. En realidad, están formadas por uno o varios transitores, pero lo podemos ver como una unidad. Los circuitos integrados contienen colecciones de compuertas conectadas con algún propósito Los circuitos integrados contienen colecciones de compuertas conectadas con algún propósito

Compuertas Lógicas  Las más simples: AND, OR, y NOT.  Se corresponden exactamente con las funciones booleanas que vimos

Compuertas lógicas  Una compuerta muy útil: el OR exclusivo (XOR)  La salida es 1 cuando los valores de entrada difieren. Usamos el simbolo  para el XOR.

Componentes digitales  Combinando compuertas se pueden implementar funciones booleanas  Este circuito implementa la siguiente función: Simplificando las funciones se crean circuitos más chicos!

Ejemplo: La función Mayoría ABCM

 NAND y NOR son dos compuertas muy importantes.  Con la identidad de De Morgan se pueden implementar con AND u OR.  Son más baratas y ambas por sí solas son un conjunto adecuado para la lógica proposicional. Es decir que cualquier operador se puede escribir usando cualquiera de ellas. Compuertas lógicas

NAND y NOR

Ejercicio  Ejemplo: NOT usando NAND  Utilizando solo NAND o NOR realizar circuitos con la misma funcionalidad que el AND y OR

Circuitos combinatorios  Producen una salida específica (casi) al instante que se le aplican valores de entrada  Implementan funciones booleanas  La aritmética y la lógica de la CPU se implementan con estos circuitos

Sumadores  Como podemos construir un circuito que sume dos bits X e Y?  F(X,Y) = X + Y (suma aritmética)  Que pasa si X=1 e Y=1?

 Podemos usar un XOR para la suma y un AND para el acarreo  A este circuito se lo llama Half-Adder Half-Adder X Y  C Half Adder

¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: ___________________ Full Adders

¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: ___________________ 0

¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: ___________________ 1 0 Full Adders

¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: ___________________ 1 1 0

Full Adder X Y Ci  Co Full Adders ¿Cómo se suman números de dos bits? Ej: ___________________ En el caso de los Full Adders se asume que poseen una entrada más, el acarreo.

 Cómo es la tabla de verdad de un Full Adder?  Podemos mejorar nuestro half-adder para considerar un “acarreo” en la entrada. Full-Adder

 ¿Podemos adaptar nuestro half-adder para convertirlo en un full adder? Full Adders

Half Adder X Y Ci  Co Full Adder Half Adder  C  C X Y Full Adders

 He aquí el full adder Full Adders

Ejercicio:diseñar un sumador de cuatro bits usando half y/o full adders. Ae B  As Full Adder A A B  As Half Adder A 4 A 3 A 2 A 1 B 4 B 3 B 2 B 1 + C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 Adders

A 4 A 3 A 2 A 1 B 4 B 3 B 2 B 1 + C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 A1A1 B1B1  As HA  As FA  As FA Ae  As FA Ae A2A2 B2B2 A3A3 B3B3 A4A4 B4B4 C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 C5C5 Sumador de cuatro bits: Adders

Decodificadores  Decodificadores de n entradas pueden seleccionar una de 2 n salidas  Son muy importantes, por ejemplo: Seleccionar una locación en una memoria a partir de una dirección colocada en el bus memoria Seleccionar una locación en una memoria a partir de una dirección colocada en el bus memoria

Decodificadores - Ejemplo  Decodificador 2-a-4 Si x = 0 e y = 1, que línea de salida queda habilitada?

 Selecciona una salida de varias entradas  La entrada que es seleccionada como salida es determinada por las líneas de control  Para seleccionar entre n entradas, se necesitan log 2 n líneas de control. Multiplexores Demultiplexor Exactamente lo contrario Exactamente lo contrario Dada una entrada la direcciona entre n salidas, usando log 2 n líneas de control. Dada una entrada la direcciona entre n salidas, usando log 2 n líneas de control.

 Así luce un multiplexor 4-a-1 Si S 0 = 1 y S 1 = 0, que entrada es transferida a la salida? Multiplexor - Ejemplo

Función Mayoría

Ejercicio: Implementar la función Mayoría con un Multiplexor

Ejercicio  Construir una ALU de 1 bit  3 entradas: A, B, Carry A, B, Carry  Cuatro operaciones: A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry) A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry)  Salidas Resultado, Carry Out Resultado, Carry Out

Alu de 1bit Decoder Full Adder

Alu de 1bit

Un ALU de 8 bits

Memoria ROM

ROM usando un decoder

Links  Libro Tanenbaum  Demo compuertas: hookey.com/digital/derived_gates.html hookey.com/digital/derived_gates.htmlhttp:// hookey.com/digital/derived_gates.html  Para ver Compuertas logicas en detalle: csc317/csc317notes.html csc317/csc317notes.html csc317/csc317notes.html