GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO RECTAS Y PLANOS

Elementos geométricos Dimensión y grados de libertad Elementos geométricos fundamentales en el espacio: punto, recta, curva, plano, superficie, figuras planos, cuerpos geométricos. Pueden determinarse por ecuaciones que se pueden expresar de diferentes formas: vectorial, paramétricas (tantas como dimensión tenga el espacio), continua, implícitas…… -Las rectas vienen expresados por 1 parámetro -Los planos vienen expresados por 2 parámetros -Las rectas se definen mediante 2 ecuaciones implícitas -Los planos se definen mediante 1 ecuación implícita

Ecuación de la recta Es la expresión analítica que nos permite conocer qué puntos del espacio pertenecen a ella; esto es, los puntos del espacio que satisfacen su ecuación

Una recta queda determinada por un punto A y un vector que lleva su misma dirección

Ecuaciones de la recta Vectorial: Paramétricas: igualando las coordenadas. Continua: despejando el parámetro t e igualando Implícita o general: cogiendo las igualdades Ax + By + D = 0 de dos en dos, y operando A’x+C’z+D’ = 0 hasta igualarlas a 0. Basta con tomar dos igualdades. El resultado es la intersección de dos planos. (Observa que consta de dos ecuaciones implícitas). En este caso, la recta está determinada por dos planos que se cortan.

Una recta también está determinada por dos planos que se cortan Obtener puntos y vectores de una recta en cualquiera de sus formas. 1- Recta que pasa por un punto y se apoya en dos que se cruzan 2- Recta que es paralela a otra y se apoya en dos que se cruzan 3-Recta perpendicular común a otras dos que se cruzan Los tres últimos aún no los podemos hacer (necesitamos saber como se determina un plano).

Una recta también está determinada por dos puntos A y B

PUNTOS ALINEADOS Dos puntos A y B siempre están alineados; es decir, por dos puntos pasa una recta Determina si los puntos A(0,0,0), B(-1,2,0), C(2,1,0) están alineados Para que tres puntos A, B y C estén alineados tienen que estar en la misma recta. Se puede comprobar de dos formas: –Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos de ellos y comprobar si el tercer punto pertenece a la misma (basta con comprobar si satisface su ecuación) –Calcular dos vectores que comiencen en uno de los puntos y terminen en cada uno de los otros dos (por ejemplo: AB y AC). Si los tres puntos están alineados, AB y AC serán proporcionales.

Desde la forma vectorial a paramétrica o continua es inmediato. Desde la forma paramétrica o continua a las anteriores es inmediato Desde la forma vectorial, paramétrica o continua a general( implícita) Desde la forma implícita a cualquiera de las anteriores: aunque hay varias formas: –Encontrar dos puntos de la recta –La intersección de dos planos genera una recta que obtenemos buscando el vector director de la recta ( a través del producto vectorial ) y un punto de la recta –se llama t a una de las variables y se despejan las otras en función de t. PASAR DE UNA FORMA A OTRA Es importante saber obtener puntos y vectores de una recta

Determinación de rectas: - Recta que pasa por un punto y lleva una dirección -Recta que pasa por dos puntos -Recta que pasa por un punto y es paralela a otra -Recta intersección de dos planos

Ecuación del plano Es la expresión analítica que nos permite conocer qué puntos del espacio pertenecen a él; esto es, los puntos del espacio que satisfacen su ecuación

Un plano queda determinada por un punto A y dos vectores independientes y (llevan distinta dirección)

Un plano también está determinada por tres puntos A, B y C no alineados

Vectorial: Paramétricas: igualando las coordenadas. (Observa que tiene dos grados de libertad) Implícita o general: es decir: desarrollando e igualando a 0, se tiene: AX + By + Cz + D = 0 (Observa que consta de una ecuación implícitas). Ecuaciones del plano

Desde la forma vectorial a la general Desde la forma paramétrica a la anterior Desde la forma general a las paramétricas: basta con llamar a una de las incógnitas t, a otra s, y poner la tercera en función de éstas. PASAR DE UNA FORMA A OTRA Es importante saber obtener puntos y vectores de un plano

Tres puntos A, B y C siempre son coplanarios (están en el mismo plano). Determinan un plano si no están alineados. Para que cuatro puntos A, B, C y D sean coplanarios tienen que estar en el mismo plano. Dos formas de comprobarlo: –Hallar la ecuación del plano que determinan tres de los puntos y comprobar si el cuarto punto pertenece a la misma (basta con comprobar si satisface su ecuación) –Calcular los vectores que determina uno de los puntos con cada uno de los otros (por ejemplo: AB, AC, AD). Si los cuatro puntos están en el mismo plano, estos tres vectores serán dependientes; es decir, su determinante será cero. PUNTOS COPLANARIOS

Un punto M del plano y un vector n perpendicular al plano también lo determinan

Determinación de planos: -Plano determinado por un punto y dos vectores. -Plano determinado por tres puntos no alineados. -Plano determinado por un punto y una recta contenida en él. -Plano determinado por un punto y un vector normal. -Plano determinado por dos rectas que se cortan. -Plano determinado por dos rectas paralelas. -Plano determinado por dos puntos y una dirección paralela

ECUACIONES DE LOS PLANOS CARTESIANOS

ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS

En particular, si los puntos que conocemos son los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas, se puede escribir otra ecuación del plano llamada SEGMENTARIA

INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS La forma de proceder para calcular el punto donde se cortan dos rectas dependerá de las ecuaciones de las mismas. –Si están en paramétricas, se igualan las variables y se despejan los parámetros –Si una está en paramétricas y la otra en continua, se sustituye la primera en la segunda. –Si una está en paramétricas y la otra en general se sustituye la primera en la segunda.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Entre dos rectas r y s: Entre dos planos α y β: Entre una recta r y un plano α:

INTERSECCIÓN ENTRE RECTA y PLANO La forma de proceder para calcular el punto donde se cortan dependerá de las ecuaciones de las mismas. –Si la recta está en paramétricas y el plano en general, se sustituye la primera en la segunda. –Si ambas están en general, hay que resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (ya conocemos métodos para hacerlo: Gauss, Crámer, Matriz inversa).

INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS La forma de proceder para calcular la recta donde se cortan dos planos dados en forma paramétrica es llamar a una incógnita t y despejar las otras dos en función de ésta.

Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y al punto P. Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y al punto P. La recta s que sale de cortar ambos planos es la solución buscada. 1- Recta que se apoya en dos y pasa por un punto dado Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que pasa por un punto P y toca a las otras dos. EnlaceEnlace Procedemos así:

Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y es paralelo a la recta s. Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y es paralelo a la recta s. La recta que sale de cortar ambos planos es la solución buscada 2- Recta que se apoya en dos y es paralela a una tercera Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que es paralela a una tercera recta s y toca a las otras dos. El procedimiento es exactamente igual que el anterior, cambiando la condición de que contiene al punto P a que los planos han de contener al vector director de la tercera recta.

3- Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan Si dos rectas r y s se cruzan, hay una recta que es simultáneamente perpendicular a ambas. EnlaceEnlace Para calcular dicha recta procedemos así: Sabemos que el vector resultante del producto vectorial de los vectores directores de r y s es perpendicular a ambas. Hallamos un plano que contenga a una de las rectas y al vector anterior Hallamos otro plano que contenga a la otra recta y al vector anterior La recta donde se cortan estos planos corta perpendicularmente a r y s