DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f’(x). Si f’(x) es una función entonce la derivada existe y se denota por f’’(x), la cual se llama segunda derivada. En general la n- ésima derivada de una función viene dada por f n (x).

3.Utilizar el teorema para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 4.Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0, entonces: 4.1.Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, f(c) es un max relativo de f. 4.2 Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un min relativo de f Si f’(x) no cambia de signo en c, f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. 5.Para cada punto crítico c encontrar f ( c).

EJEMPLO Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función f(x) = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 7

SOLUCION 1. Dada la función encontramos la primera derivada. f’(x) = 6x 2 + 6x –12 2.Igualamos f’(x) a cero, esto es: f’(x) = 0 3.Encontramos los puntos críticos, resolviendo la ecuación resultante. 6x 2 + 6x –12 =0 6(x + 2)(x – 1) = 0 x = - 2 y x = 1

SOLUCION 4.Ubicar los puntos críticos en una recta numérica como la siguiente:

SOLUCION 5.En la última fila se puede obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, esto es: Intervalos de crecimiento: Intervalo de decrecimiento:

SOLUCION 6.De acuerdo a la tabla del punto 4, se concluye que hay un máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x =1. 7.Las coordenadas de los puntos críticos, reemplazandolos en f(x), son: f(2) = 13 y f (1) = -14

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

CONCAVIDAD Sea f definida en un intervalo: 1. f es cóncava hacia arriba si la gráfica se dobla hacia arriba 2. f es cóncava hacia abajo si la gráfica se dobla hacia abajo

CONCAVA HACIA ARRIBA Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia arriba en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la grafica de f esté arriba de la recta tangente en P.

CONCAVA HACIA ABAJO Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia abajo en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la grafica de f esté bajo la recta tangente en P.

TEOREMA Sea f una función derivable en (a, b) con c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f”(x) existe, entonces: 1. Si f”(x) > 0, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba. 2. Si f”(x) < 0, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo.

PUNTO DE INFLEXION Sea f una función cuya recta tangente en (c, f (c)). Se dice que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexión si la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto