 Para poder resolver una ecuación como ésta: x² = -4 No hay ningún número real que elevado al cuadrado nos pueda dar un resultado negativo. Ahora bien, la ecuación de arriba la puedo escribir como: x² = 4. (-1) y puedo sacar la raíz cuadrada en ambos miembros: x = 2. √-1 Ya sabemos que √-1 no puede ser un número real - pero imaginemos que √-1 sea algo válido, y démosle como nombre i (o sea, i = √-1 por definición). Entonces, en la ecuación de más arriba: x = 2. √-1 = 2. i = 2i En la misma forma podemos calcular cualquier otra raíz de números negativos.

 i se llama "unidad imaginaria". 2i es un "número imaginario". Una expresión como 3 + 2i es un "número complejo", que tiene una parte real (3) y una parte imaginaria (2i). El hecho de "aceptar" que existe una cosa como i, la raíz cuadrada de -1, nos abre un gran abanico de posibilidades: cosas que antes eran imposibles de resolver, ahora sí pueden tener respuesta. Algo parecido pasó antes. Si estamos trabajando con los numeros enteros, siempre los podemos sumar, restar y multiplicar, y el resultado siempre sigue siendo entero. Pero si queremos dividir? 2/5 no es un entero: para poder resolver una expresion como 2/5, hubo que "inventar" las fracciones, o números racionales. Y teniendo los racionales se nos abre todo un nuevo abanico de posibilidades. Lo mismo pasa con los números complejos: nos dejan resolver problemas que, dentro de los números reales, no tendrían solución posible.

 Al principio los matemáticos eran muy reacios a aceptar tal cosa como un número imaginario. Pero ya en 1572 Bombelli mostró que, para encontrar las soluciones de una ecuación cúbica, era necesario (y muy conveniente) usar números complejos (no les dió ese nombre en ese momento, claro, pero mostró que realmente eran útiles, no solo un invento extravagante). En 1732 Euler le dio el nombre i a √- 1, y a partir de ahí, poco a poco, los matemáticos se fueron convenciendo de que los números complejos eran números "de verdad". El gráfico de los números complejos en un plano (con la parte real en el eje de las abscisas, y la parte imaginaria en el eje de ordenadas) se lo debemos a Gauss (1831).

 La unidad imaginaria o unidad imaginaria, denotado, es un concepto matemático que se extiende el sistema de número real R para el sistema de número complejo C, que a su vez proporciona al menos una raíz para cada polinomio P. La propiedad de la unidad imaginaria central es que i2 = -1. El término imaginaria se utiliza porque no hay ningún número real que tiene un cuadrado negativo.  De hecho, hay dos raíces cuadradas complejas de 1, es decir, i y-i, así como hay dos raíces complejas cuadrados de cada número real, excepto el cero, que tiene una raíz cuadrada doble.  En contextos donde i es ambigua o problemático, j o el griego? se utiliza a veces. En las disciplinas de la ingeniería eléctrica y la ingeniería de los sistemas de control, la unidad imaginaria es a menudo denotado por j en lugar de i, ya que i se utiliza comúnmente para referirse a la corriente eléctrica en estas disciplinas.

 Los poderes de i devuelven valores cíclicos:  El número imaginario i se define únicamente por la propiedad de que su cuadrado es -1:  Con i se define de esta manera, se deduce directamente de álgebra que i y-i son dos raíces cuadradas de 1.  Aunque la construcción se llama "imaginaria", y aunque el concepto de un número imaginario puede ser intuitivamente más difícil de entender que la de un número real, la construcción es perfectamente válido desde un punto de vista matemático. Operaciones con números reales pueden extenderse a los números imaginarios y complejo por el tratamiento de i como una incógnita al manipular una expresión, y luego utilizar la definición para reemplazar cualquier ocurrencia del i 2 con 1 - potencias enteras altos de i también puede ser sustituido por - i, 1, i, o-1:

 -) Potencias de la Unidad Imaginaria:  i =  i2 = -1  i3 = -i  i4 = 1  Para determinar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria “i” se toma su exponente, se lo divide por 4 (cuatro), y el resto de esa división que será siempre menor que 4 (cuatro), será en definitiva el valor buscado que quedará encuadrado dentro de la primeros cuatro valores de la tabla anterior.

 Ejemplo: a) i18 = 18 :4  4  i18 = i4 i4 i4 i4 i2 = i2  i18 = -1*  b) i273 = 273 :4  1 68  i273 =  -) Suma de números Complejos:  El resultado es otro complejo que se obtendrá sumando respectivamente las partes reales e imaginarias de los complejos dados.  Ejemplo: (-3/4 + 5i) + (2 - 3i) = (-3/4 + 2) + (5i - 3i)

 El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

 El plano cartesiano es un plano de dos fechas perpendiculares (que forman una x derecha ) En el plano carteseano ambas fechas que se diregen al infinito positivo y infinito negativo. (a esto me refiero que en la division de los ejes los numeros continuan indefinidos.)

 El eje de x es el eje horizontal y en la interseccion de ambos ejes esta el numero 0 y de la derecha del 0 todos los numeros son numeros positivos y del 0 a la izquierda todos los numeros son negativos. (y estos son los numeros que continuan hasta el infinito positivo que son los de la derecha y los de infinito negativo que van al lado izquierdo)