Cristalografía. Fundamentos y Aplicaciones l 2° cuatrimestre 2016 SIMETRIA EN CRISTLAES Cristalografía. Fundamentos y Aplicaciones l 2° cuatrimestre 2016 Departamento de Química Inorgánica, Analítica y Química Física, FCEN, UBA

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales MOTIVACIÓN. Para poder comprender la periodicidad de los sólidos cristalinos, debemos conocer las REGLAS DE SIMETRÍA Para conocer la naturaleza y el orden de la periodicidad en los cristales, debemos aprender cuáles son las operaciones por la cuales la repetición del MOTIVO BÁSICO de cristal da lugar al CRISTAL PROPIAMENTE DICHO ¿cómo podemos hacer para lograr describir todo el cristal a partir del motivo básico? ??

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales MOTIVACIÓN. Para poder comprender la periodicidad de los sólidos cristalinos, debemos conocer las REGLAS DE SIMETRÍA Vamos más allá…dado dos objetos enantiomorfos, ¿cómo podemos hacer para lograr superponerlos? ?? Enantiomorfos: objetos con imagen especular no superponible Enantiómeros: moléculas con imagen especular no superponible (típicamente aquellas que poseen un centro quiral)

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales MOTIVACIÓN. Para poder comprender la periodicidad de los sólidos cristalinos, debemos conocer las REGLAS DE SIMETRÍA RESPUESTA. Aprender a cerca de la “Teoría de las transformaciones isoméricas”

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales DEFINICIONES DE UTILIDAD. Objetos congruentes. Son aquellos que cada punto de uno de ellos corresponde a un punto del otro y además, se cumple que la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre los dos puntos equivalentes en el otro objeto. Como consecuencia, los correspondientes ángulos también serán iguales. Congruencia Directa. La correspondencia de ángulos tiene el mismo signo. Congruencia Opuesta. La correspondencia de ángulos tiene el signosopuestos.

1. TRASLACION – 2. ROTACIÓN – 3. ROTO-TRASLACIÓN CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales Objetos congruentes. Son aquellos que cada punto de uno de ellos corresponde a un punto del otro y además, se cumple que la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre los dos puntos equivalentes en el otro objeto. Como consecuencia, los correspondientes ángulos también serán iguales. Congruencia Directa. La correspondencia de ángulos tiene el mismo signo. Para este tipo de congruencia, un objeto puede hacerse coincidir con el otro a través de movimientos convenientes durante los cuales éste se comporta como un cuerpo rígido. Estos movimientos son: 1. TRASLACION – 2. ROTACIÓN – 3. ROTO-TRASLACIÓN T R (o MOV. de TORNILLO) T R

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales Congruencia Opuesta. Los objetos se dicen que son enantiomorfos. En ese caso uno de los objetos coincidirá con el otro a través de las siguientes operaciones: 1. INVERSIÓN: operación de simetría con respecto a un punto 2. REFLEXIÓN: operación de simetría con respecto a un plano 3. ROTO-INVERSIÓN: producto de la rotación alrededor de un eje por la inversión con respecto un punto del eje 4. PLANO DE DESPLAZAMIENTO: producto de la reflexión por la traslación paralela al plano de reflexión 5. ROTO-REFLEXIÓN: producto de la rotación por la reflexión con respecto al plano perpendicular al eje de rotación

Elementos de Simetría , , DEFINICIÓN CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría DEFINICIÓN Si luego de la aplicación de una operación de simetría todas las propiedades del sistema permanecen iguales, la operación será entonces una OPERACIÓN de SIMETRÍA. Los ELEMENTOS de SIMETRÍA son puntos, ejes o planos con respecto a los cuales las operaciones de simetría son ejecutadas. INCORPORANDO NOMENCLATURA : representa a un objeto , : representa al enantiomorfo del objeto representado por un círculo (renglón anterior) El + : indica sobre el plano de la hoja/pizarrón EL – : indica debajo del plano de la hoja/pizarrón + , : indica que ambos objetos están ubicados uno encima del otro –

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría EJE DE SIMETRÍA ROTACIONAL. Un dado sistema presenta un EJE de ROTACIÓN de ORDEN n, cuando todas las propiedades del espacio permanecen inalteradas luego de una rotación de 2π/n alrededor de un eje. Estos ejes son representados con el número n EJE DE ROTOTRASLACIÓN (o de movimiento de tornillo). Un dado sistema presenta un EJE de ROTOTRASLACIÓN de ORDEN n CON UN COMPONENTE TRASLACIONAL DE ORDEN t, cuando todas las propiedades del espacio permanecen inalteradas luego de una rotación de 2π/n alrededor de un eje y una traslación t a lo largo del mismo. EJES DE INVERSIÓN. Un dado sistema presenta un EJE de INVERSIÓN de ORDEN n, cuando todas las propiedades del espacio permanecen inalteradas luego de ejecutar el producto de una rotación de 2π/n alrededor de un eje por la inversión con respecto a un punto localizado en el correspondiente eje. Estos ejes son representados con el número 𝐧 (“n barra” o “menos n”). EJE DE ROTOREFLEXIÓN. Un dado sistema presenta un EJE de ROTOREFLEXIÓN de ORDEN n, cuando todas las propiedades del espacio permanecen inalteradas luego de ejecutar el producto de una rotación de 2π/n alrededor de un eje por la reflexión con respecto al plano normal al correspondiente eje. Estos ejes son representados con el número 𝐧 . El efecto de aplicar los ejes 1 , 2 , 3 , 4 y 6 coincide con los ejes de inversión en general de un orden diferente => n no suelen considerarse y sí se consideran sus equivalentes de inversión . NOTAR QUE: 1 =m, 2 = 1 , 3 = 6 , 4 = 4 y 6 = 3 . PLANOS DE REFLEXIÓN CON COMPONENTES DE TRASLACIÓN (GLIDES). Un dado sistema presenta ESTE OPERADOR, cuando todas las propiedades de una mitad del espacio son idénticas a las de la otra mitad del espacio, cuando se aplica la operación del producto de la reflexión a través de un plano por la traslación paralela a dicho plano.

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría OBSERVACIONES A DESTACAR: 1 =m, 2 = 1 , 3 = 6 , 4 = 4 y 6 = 3 (ya menciondas) Eje rotacional de orden 4 es al mismo tiempo un eje rotacional de orden 2 Eje rotacional de orden 6 es al mismo tiempo un eje rotacional de orden 2 y de orden 3 La dirección del eje 1 es irrelevante dado que la operación coincide con la inversión con respecto a un punto El eje 2 es equivalente a un plano de reflexión (m) perpendicular al mismo El eje 3 =3 1 ( 3 es equivalente al producto de un eje rotacional 3 por una inversión) El eje 4 =2 ( 4 es equivalente un eje de rotación 2) El eje 6 =3/𝑚 ( 6 es equivalente al producto de un eje rotacional 3 por una reflexión con respecto al plano normal al mismo)

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Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE Operaciones de simetría SIN TRASLACIÓN REFLEXIÓN (espejo) INVERSIÓN (centro de simetría) ROTACIÓN PLANO DE DESPLAZAMIENTO (en inglés glide) TRASLACIÓN Operación que genera un patrón regular a intervalos idénticos. En 3D, la traslación se indica como x, y, z

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE ROTACIÓN La simetría rotacional se expresa como un todo con el número n comprendido entre 1 y ∞. El n representa el número de veces que el motivo se repite en una rotación de 360 ° (2π).

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE ROTACIÓN Si la rotación produce patrones donde se conserva el motivo original, ambos, el objeto generado por rotación y el original, son congruentes.

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE PLANO DE DESPLAZAMIENTO Es una operación de DOS pasos: reflexión seguida de translación.

¿Esta operación es congruente o genera un par enantiomórfico? CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE INVERSION La inversión produce un objeto invertido a través de un centro de inversión (i). ¿Esta operación es congruente o genera un par enantiomórfico?

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE REFLEXIÓN vs. INVERSIÓN Ejemplo en 2D

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE ROTOINVERSION. Ejemplo combinación de rotación e inversión. Notar que en 2D la rotación resulta en pares congruentes. Pero en 3D la rotoinversión genera pares enantiomorfos

Simetría en los cristales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Simetría en los cristales RESUMIENDO Y EJEMPLIFICANDO GRAFICAMENTE ROTOINVERSION. Ejemplo combinación de rotación e inversión.

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 2 CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 2

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 3 CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 3

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 4 CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 4

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 6 CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 6

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA m OBJETO ENANTIOMORFO CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA m ENANTIOMORFO OBJETO

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 𝟏 ENANTIOMORFO OBJETO CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 𝟏 ENANTIOMORFO OBJETO Los ejes de inversión se representan como “n barra” o “menos n”. Y representan el producto de la rotación en 2π/n al rededor del eje por la inversión a un punto sobre el eje

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 21 CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA 21

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA Plano de desplazamiento

Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría INCORPORANDO NOMENCLATURA

Elementos de Simetría OPERACIONES DE SIMETRIA CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elementos de Simetría OPERACIONES DE SIMETRIA OPERACIONES DE SIMETRÍA PROPIAS: son aquellas que relacionan objetos referidos a congruencias directas (ej: ejes propios de simetría) OPERACIONES DE SIMETRÍA IMPROPIAS: son aquellas que relacionan objetos referidos a congruencias opuestas (ej: ejes impropios de simetría)

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Referencias Fundamentals of Crystallography Carmelo Giacovazzo http://www.crystallographiccourseware.com/SpaceGroupSymmetry/ThreeDSymmetryElements.html http://www.fempatrimoni.cat/www-crista/CASTELLA/index_es.htm# http://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/misc/symbols.htm http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03_1-en.html http://www.iucr.org/resources/symmetry-font

Cristalografía. Fundamentos y Aplicaciones l 2° cuatrimestre 2016 SIMETRIA EN CRISTLAES II Cristalografía. Fundamentos y Aplicaciones l 2° cuatrimestre 2016 Departamento de Química Inorgánica, Analítica y Química Física, FCEN, UBA

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES REDES DEFINICIÓN de RED: corresponde a un arreglo infinito de puntos ubicados de forma tal que el ENTORNO DE CADA PUNTO es idéntico al ENTORNO DE CADA UNO DE LOS OTROS PUNTOS DE LA RED RED obtenida considerando el centro de gravedad de la molécula de HOCl Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”. Ejemplo. Red 2D de HOCl (ácido hipocloroso): la red 2D se construye a partir de desplazar el motivo (HOCl) en intervalos a y b

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES REDES RED 2D Se puede definir cualquier punto de la red mediante el vector: a y b son vectores y u y v ∈𝒁+𝒁− o

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 2D Se puede definir cualquier punto de la red mediante el vector: ECUACIÓN 1 a y b son vectores y u y v ∈𝒁+𝒁− El paralelogramo que se define por a y b (vectores básicos de la red) = celda unidad o

Elección arbitraria de la celda unidad CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 2D o Elección arbitraria de la celda unidad

Elección arbitraria de la celda unidad CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 2D o Elección arbitraria de la celda unidad (con diferentes u y v)

Elección arbitraria de la celda unidad CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 2D o Para estas celdas sigue valiendo la ec. 1 pero u y v ya no necesariamente son enteros Elección arbitraria de la celda unidad (con diferentes u y v)

Elección arbitraria de la celda unidad CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 2D P a‘ b’ o o Elección arbitraria de la celda unidad P = 1/2a‘ + 1/2b’ (con diferentes u y v)

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS Caracterización de las diferentes celda unidad posible: por cantidad de puntos de la red que contienen (no olvidar de contar bien!) RED 2D o

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS Caracterización de las diferentes celda unidad posible: por cantidad de puntos de la red que contienen (no olvidar de contar bien!) RED 2D o DEFINICIÓN de CELDA PRIMITIVA: corresponde a la celda unidad que contiene SOLO UN PUNTO de la red. Las que contienen más de un punto se denominan múltiples o centradas. ¿Cuál/cuáles de estas serían celdas primitivas?

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 3D Se puede definir cualquier punto de la red mediante el vector: ECUACIÓN 2 El paralelepípedo que se define por a , b y b (vectores básicos de la red) = celda unidad X Y Z = ejes cristalográficos α β γ = ángulos 𝑽=𝒂∙𝒃×𝒄 A B C = caras Si la celda es primitiva, u v w Si la celda es múltiple, u v w ∈𝒁+𝒁− ∈𝑸 Producto vectorial Producto escalar Orientación: “regla de la mano derecha”

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES CELDAS RED 3D Se puede definir cualquier punto de la red mediante el vector: ECUACIÓN 2 El paralelepípedo que se define por a , b y b (vectores básicos de la red) = celda unidad X Y Z = ejes cristalográficos α β γ = ángulos 𝑽=𝒂∙𝒃×𝒄 ¿La de la imagen qué tipo de celda es? A B C = caras Si la celda es primitiva, u v w Si la celda es múltiple, u v w ∈𝒁+𝒁− ∈𝑸 ¿La de la imagen qué tipo de celda es? Producto vectorial Producto escalar Orientación: “regla de la mano derecha”

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES APENDICE MATEMATICO 1 Definición geométrica del PRODUCTO ESCALAR en un espacio euclideano Real Proyección de un vector sobre otro Ángulos entre dos vectores

Propiedades de Producto Escalar CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Vectores ortogonales Vectores paralelos o en la misma dirección Propiedades de Producto Escalar

Expresión analítica del Producto Escalar CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Expresión analítica del Producto Escalar

Definición de PRODUCTO VECTORIAL CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Definición de PRODUCTO VECTORIAL Precisiones

Producto vectorial de dos vectores CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Producto vectorial de dos vectores

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CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES MOTIVO: la parte fundamental de un diseño simétrico; cuando se repite, genera todo el patrón OPERACIÓN: les una acción que reproduce el motivo y así, permite crear el patrón ELEMENTO: es una operación localizada en un punto particular del espacio Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

Propiedades RACIONALES de las CELDAS CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Propiedades RACIONALES de las CELDAS Como los puntos de las celdas pueden representarse mediante NÚMEROS RACIONALES, sus propiedades se denominan también RACIONALES (planos/puntos racionales, también llamados planos/puntos cristalográficos). Planos y filas de la red direcciones Planos Típicamente es necesario especificar ciertas direcciones y planos en los cristales Las propiedades de los materiales cristalinos y ciertos procesos fisicoquímicos asociados a los sólidos cristalinos suelen depender de las direcciones cristalográficas Las direcciones y los planos cristalográficos se describen mediante tres números enteros denominados INDICES DE MILLER

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Direcciones cristalográficas CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Direcciones cristalográficas Dados un punto de la red representado por el vector Q1 que cumplen con la ec. 2 Definimo la dirección de Q1 mediante los eneros u, v, w (en el caso que Q represente un punto de la red definido a partir de los vectores a, b y c de una celda primitiva) o u, v , w racionales (en el caso que Q esté definida a partir de vectores de una celda múltiple) Ejemplo en 2D Recordar que: x, y, z son los ejes cristalográficos (colocados a partir de un origen arbitrario) a, b, c son los parámetros de la red (dimensiones de cada uno de los lados de la celda) h, k, l son los índices de Miller (u v w); para expresar las direcciones se indican según: [hkl] Ejemplo en 3D

Direcciones cristalográficas CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Direcciones cristalográficas REGLAS PARA DEFINIR UNA DIRECCIÓN CRISTALOGRÁFICA Ir desde el punto hasta el origen del sistema de coordenadas Determinar la longitud de vector proyectado en las dimensiones de la celda unidad (a, b, c) Remover las unidades y así obtener los índices de Miller; ej. [ua vb wc]  [u v w] u v w son divididos y multiplicados por factores comunes para reducirse a los valores enteros menores posibles La dirección cristalográfica se denota entonces como [u v w] Las propiedades de un material serán los mismos a lo largo de una familia de direcciones cristalográficas es la misma Para materiales cristalinos uniformes, todas las direcciones paralelas tendrán las mismas propiedades Para índices negativos: se usa barra sobre el número No usar comas para separar los índices <hkl> representa una familia de direcciones ¿Cuál sería esta dirección?

Direcciones cristalográficas CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Direcciones cristalográficas Ejemplo Dirección cristalográfica: [4 2 ] → [2 1 ]

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Tres puntos cristalográficos definen un PLANO CRISTALOGRÁFICO Tener en cuenta, Para describir a los planos cristalográficos en función de los índices de Miller se utiliza la nomenclatura: (h k l) Los planos cristalográficos paralelos a cada uno de los ejes X Y Z se definen por los índices según: (0kl), (h0l) y (hk0) respectivamente Los planos paralelos a cada una de las caras de la celda unidad A, B y C, se definen por los índices según: (h00), (0k0) y (00l) respectivamente Planos paralelos = tienen los ‘mismos índices de Miller

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos REGLAS PARA DEFINIR UN PLANO CRISTALOGRÁFICO El plano debe intersectar o ser paralelo a cualquier eje Si no se cumple lo anterior, el plano debe trasladarse o se necesita un origen Determinar los puntos de intersección del plano con los ejes cristalográficos en función de a, b, c, o infinito si es paralelo a alguno de los ejes Determinar el recíproco (1/a 1/b 1/c 1/∞) Reducir al menor numero posible según factor común o mínimo común múltiplo

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos REGLAS PARA DEFINIR UN PLANO CRISTALOGRÁFICO El plano debe intersectar o ser paralelo a cualquier eje Si no se cumple lo anterior, el plano debe trasladarse o se necesita un origen Determinar los puntos de intersección del plano con los ejes cristalográficos en función de a, b, c, o infinito si es paralelo a alguno de los ejes Determinar el recíproco (1/a 1/b 1/c 1/∞) Reducir al menor numero posible según factor común o mínimo común múltiplo • Cara rosa: (1/1, 1/∞, 1/∞) = (100) • Cara verde: (1/∞, 1/∞, 1/1) = (001) • Cara amarilla: (1/∞, 1/1, 1/∞) = (010)

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplos

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplos Intercepción: (1,1, ∞)->(110) Intercepción = (1,1,1) -> (111)

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplos

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplos Intercepción: (½, 1, 0) -> (210)

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplos El punto verde indica dónde se ubicó el origen (recordar estrategia utilizada para direcciones)

Planos comprendiendo índices con signo opuesto son equivalentes CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Observación Planos comprendiendo índices con signo opuesto son equivalentes

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Observación

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplos

Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Planos cristalográficos Ejemplo. CELDA HEXAGONAL

Direcciones y Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Direcciones y Planos cristalográficos Ejercicios - - - 1, Graficar las siguientes direcciones : [110], [1 2 1], [ 1 0 2] 2, Determinar los índices de Miller de los siguientes planos 3. Construir los planos cuyos ;indices de Miller son los siguientes (0 1 1) and (1 1 2) i ii - - -

Arreglos atómicos y Planos cristalográficos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Arreglos atómicos y Planos cristalográficos

Referencias Visualizar planos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Referencias Fundamentals of Crystallography Carmelo Giacovazzo Visualizar planos http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_draw.php

Cristalografía. Fundamentos y Aplicaciones l 2° cuatrimestre 2016 SIMETRIA EN CRISTLAES III Cristalografía. Fundamentos y Aplicaciones l 2° cuatrimestre 2016 Departamento de Química Inorgánica, Analítica y Química Física, FCEN, UBA

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES MOTIVO: la parte fundamental de un diseño simétrico; cuando se repite, genera todo el patrón OPERACIÓN: les una acción que reproduce el motivo y así, permite crear el patrón ELEMENTO: es una operación localizada en un punto particualr del espacio Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

Grupos puntuales de simetría CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos puntuales de simetría Grupo puntual de simetría: se considera a todos aquellos que no implican traslación Para 3D hay 32 GRUPOS PUNTUALES DE SIMETRÍA Combinación de elemntos de simetría en 3-D a. Eje de rotación paralelo a un espejo Mismo que 2-D 2 || m = 2mm 3 || m = 3m, también 4mm, 6mm b. Eje de rotación  espejo 2  m = 2/m 3  m = 3/m, también 4/m, 6/m c. Otras combinaciones de rotación+m son imposibles d. Combinación de rotaciones 2 + 2 a 90°  222 (tercer 2 requerido por combinación) 4 + 2 at 90°  422 ( “ “ “ ) 6 + 2 at 90°  622 ( “ “ “ ) Como en 2-D, el número de posibles combinaciones está limitada por: la incompatibilidad y la redundancia Solo hay 22 posibles combinaciones en 3-D , que cuando se combinan a su vez con los 10 elementos originales de las 3-D, se obtienen los 32 grupos puntuales en 3D Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

Grupos puntuales de simetría CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos puntuales de simetría Cada patrón 3D conforma solo uno de estos grupos. Esto incluye el cristal, y cada uno de sus puntos. Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Redes de Bravais Basandonos en celdas espaciales para describir la simetría en 3D, encontramos las 14 redes de Bravais Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

Redes de Bravais Sistemas cristalinos y posibles celdas CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Redes de Bravais Sistemas cristalinos y posibles celdas Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

Grupos puntuales + sistemas cristalinos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos puntuales + sistemas cristalinos Ahora reagrupamos los 32 grupos puntuales por sistema cristalino. Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

Grupos puntuales + sistemas cristalinos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos puntuales + sistemas cristalinos Elementos de simetría vinculados a las direcciones cristalográficas Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”. Las direcciones son las siguientes: [100] – Eje paralelo o plano perpendicular a la direccion x. [010] – Eje paralelo o plano perpendicular a la direccion y. [001] – Eje paralelo o plano perpendicular a la direccion z. [110] – Eje paralelo o plano perpendicular a la direccion que corre a 45° de la diagonal entre los ejes x e y. [1`1 0] – Eje paralelo o plano perpendicular a lo largo de la diagonal de la cara “ab” de la celda hexagonal. [111] – Eje paralelo o plano perpendicular a la diagonal mayor de la celda.

Grupos puntuales + sistemas cristalinos + redes deBravais CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos puntuales + sistemas cristalinos + redes deBravais Si se combinan 32 grupos puntuales con las 14 redes de Bravais, se obtienen 72 grupos espaciales (grupos simorficos). Cambiando los ejes de rotacion por rototraslacion y los planos espejos por planos con deslizamiento se completan los 230 grupos espaciales cristalograficos Si partimos de la red de puntos, al asociar cada uno de los puntos con un grupo de átomos o molécula, generamos un “cristal ideal”.

(normales al plano de proyección) CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos espaciales Recordamos nomenclatura y agregamos nueva P: primitiva A, B, C: centradas en base A, B o C F: centrada en la/s cara/s I: Centrada en el cuerpo R: Romohedral Planos de simetría (normales al plano de proyección) Símbolo Translación símbolo ninguna   m Glide plane 1/2 along line   a, b, or c 1/2 normal to plane Double glide plane 1/2 along line & 1/2 normal to plane   e Diagonal glide plane   n Diamond glide plane 1/4 along line & 1/4 normal to plane   d

Plano de proyección Grupos espaciales CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos espaciales Descripción gráfica de planos normales al plano de proyección Plano de proyección

(paralelo al plano de proyección) CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos espaciales Recordamos nomenclatura y agregamos nueva Plano de simetría (paralelo al plano de proyección) Símbolo Traslación símbolo Reflection plane ninguno   m Glide plane 1/2 along arrow   a, b, or c Double glide plane 1/2 along either arrow   e Diagonal glide plane 1/2 along the arrow   n Diamond glide plane 1/8 or 3/8 along the arrows   d 3/8 1/8

Grupos espaciales Elemento de simetría Símbolo gráfico Traslación CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Grupos espaciales Recordamos nomenclatura y agregamos nueva Elemento de simetría Símbolo gráfico Traslación Símbolo identidad Ninguno   1 2-fold ⊥ hoja   2 2-fold en hoja 2 sub 1 ⊥ hoja 1/2   21 2 sub en hoja 3-fold   3 3 sub 1 1/3   31 3 sub 2 2/3   32 4-fold   4 4 sub 1 1/4   41 4 sub 2   42 4 sub 3 3/4   43 6-fold   6 6 sub 1 1/6   61 6 sub 2   62 6 sub 3   63

Elemento de simetría Símbolo gráfico Traslación Símbolo CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Elemento de simetría Símbolo gráfico Traslación Símbolo 6 sub 4 2/3   64 6 sub 5 5/6   65 Inversion Ninguna   1 3 barra   3 4 barra   4 6 barra   6 = 3/m 2-fold e inversión   2/m 2 sub 1 e inversión   21/m 4-fold   4/m 4 sub 2 e inversión   42/m 6-fold   6/m 6 sub 3   63/m

Cómo reconocer la clase del cristal de un dado grupo espacial? CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Cómo reconocer la clase del cristal de un dado grupo espacial? Cubic – The secondary symmetry symbol will always be either 3 or –3 (i.e. Ia3, Pm3m, Fd3m) Tetragonal – The primary symmetry symbol will always be either 4, (-4), 41, 42 or 43 (i.e. P41212, I4/m, P4/mcc) Hexagonal – The primary symmetry symbol will always be a 6, (-6), 61, 62, 63, 64 or 65 (i.e. P6mm, P63/mcm) Trigonal – The primary symmetry symbol will always be a 3, (-3) 31 or 32 (i.e P31m, R3, R3c, P312) Orthorhombic – All three symbols following the lattice descriptor will be either mirror planes, glide planes, 2-fold rotation or screw axes (i.e. Pnma, Cmc21, Pnc2) Monoclinic – The lattice descriptor will be followed by either a single mirror plane, glide plane, 2-fold rotation or screw axis or an axis/plane symbol (i.e. Cc, P2, P21/n) Triclinic – The lattice descriptor followed by either a 1 or a (-1).

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Símbolo corto del grupo espacial en la notación de Hermann-Mauguin

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Schoenflies symbol (D2)

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Schoenflies symbol (D2)

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Símbolo corto de Hermann-Mauguin del grupo puntual correspondiente al grupo espacial.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Nombre del sistema cristalino.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Número secuencial en las tablas (desde Edición de 1952).

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Símbolo del grupo espacial completo en notación H-M

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Símbolo del grupo espacial completo en notación H-M

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Grupo espacial del mapa de Patterson (veremos más adelante)

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Diagramas de grupo espacial Diagramas de operaciones de simetría

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Diagramas de posiciones equivalentes

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Posición del origen de la celda respecto a las operaciones de simetría.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Mínima porción de la celda unidad que reconstruye la celda utilizando la simetría.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Operaciones de simetría (excluyendo traslaciones) que generan las posiciones equivalentes.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Continuación de la página anterior. Número y símbolo resumido de H-M

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Operaciones de simetría utilizadas para generar todas las operaciones del grupo espacial (incluyendo traslaciones)

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Posiciones equivalentes: Coordenadas de posiciones general y especiales

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Simetría de las proyecciones a lo largo de direcciones relevantes.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Condiciones de existencia de intensidad: para ver el jueves.

Int’l Tables for Crystallography CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Int’l Tables for Crystallography EJEMPLOS Relación de grupo-subgrupo y grupo-supergrupo con otros grupos espaciales.

Ejercicios Para los patrones periódicos dados: Encuentre todas las operaciones de simetría existentes en la figura Proponga una celda unidad convencional para la estructura (ejes, origen) Deduzca el grupo espacial y su símbolo corto Determine las posiciones equivalentes general y especiales Compare con las Tablas Internacionales

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

P1 P-1 P2 C2 Pca21 P42/nbc P63/mmc P312 Im-3m

Referencias Visualizar planos CRISTALOGRAFÍA. Fundamentos y Aplicaciones | 2° cuatrimestre 2016 | SIMETRIA EN CRISTALES Referencias Fundamentals of Crystallography Carmelo Giacovazzo Visualizar planos http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_draw.php Grupos espaciales Tablas cristalográficas http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/3dSpaceGrps/3dspgrp.htm http://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/mainmenu.htm