1 Estructuras algebraicas relacionadas con curvas en superficies Montevideo, Agosto 2007

2 Definicion Una superficie S es un espacio topologico que satisface –S es Hausdorff –Para cada punto de S hay una vecindad homeomorfica a una vecindad de un semiplano cerrado de R 2 Una superficie es orientable si se puede asignar continuamente a cada punto de S un sentido de rotacion alrededor del punto. –Vamos a considerar solo superficies orientables.

3 Caracterizacion de superfices orientables El genero (numero de “manijas”) Numero de componentes de frontera (“agujeros”)

4 Grupo fundamental Elegir p en S. (curvas orientadas con base p) cocientado por (homotopia relativa a p) La multiplicacion de lazos induce una multiplicacion en el cociente. Mas aun, el cociente es un grupo denotado π

5 Grupo fundamental de una superficie orientable S Si S tiene frontera es un grupo libre con 2.genero + fronteras-1 generadores. Si S no tiene frontera el grupo tiene (2.genero) generadores y una relacion.

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7 Clases de homotopia libre en S (curvas cerradas en S)/homotopia. Denotamos este conjunto con π*

8 Definiciones Si a y b son dos classes de homotopia libre (dos elementos en π* ) el numero minimal de intersecciones de a y b es el minimo numero de intersecciones de representantes de a y b Si a esta en π*, el numero minimal de autointersecciones de a es el numero minimo de autointersecciones de representantes de a.

9 S una superficie orientada π denota el grupo fundamental de S π* denota el conjunto de clases de homotopia (este es el conjunto de clases de conjugacion de π) V(π*) denota el espacio vectorial generado por π*.

10 El corchete de Goldman (Goldman, 86) [, ]: V(π*) x V(π*) →V(π*)

11 El corchete de Goldman (Goldman, 86) [, ]: V(π*) x V(π*) →V(π*) [b 1 b 2, x]= - b 1 b 2 x + b 2 b 1 x

12 The Goldman bracket cont. [b 1 b 2, x]= b 2 b 1 x - b 1 b 2 x

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14 El corchete de Goldman esta bien definido

15 Si a, b y c estan en V(π*), [[a,b],c] + [[b,c],a] + [[c,a],b] = 0 (Identidad de Jacobi)

16 Teorema (Goldman, 86) El corchete esta bien definido Es antisimetrico [a,b]=-[b,a] Satisface la identidad de Jacobi [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0 En otras palabras: V(π*), el espacio vectorial generado por las clases de homotopia libre de curvas en S tiene una estructura de algebra de Lie.

17 Propiedades del algebra de Lie de curvas (C.) Tiene una presentacion combinatoria. (C.) Cuando una de las clases tiene un representante simple, “dice” el numero de el numero minimal de intersecciones de las dos clases. (C. - Krongold, Alonso-Paternain) Cuando la superficie tiene frontera, “dice” el numero minimal de autointersecciones de representantes de una clase. (C. - Sullivan) Se puede generalizar el corchete de Lie a variedades de dimension mayor que dos.

18 Corolarios de las Propiedades del algebra de Lie de curvas Da el numero minimal de autointersecciones de representantes de una clase (cuando la superficie tiene frontera) Coro: “Dice” cuando una clase tiene representante simple. Da el numero minimal de intersecciones de dos clases cuando una de las clases tiene un representante simple. Coro: “Dice” cuando dos clases tienen representantes disjuntos si una de las clases es simple

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20 El centro de un algebra de Lie L es el conjunto de todos los elementos a de L tales que [a,b] =0 para todo b en L. Teorema: (Etingof) El centro del algebra de Lie de las curvas en superficies es el subespacio trivial si la superficie no tiene frontera. Dem: a en el centro, [a,b]=0 para todo b. Entonces para toda curva simple b, a y b tienen representantes disjuntos…

21 El centro de un algebra de Lie L es el conjunto de todos los elementos a de L tales que [a,b] =0 para todo b en L. Conjetura: El centro del algebra de Lie de las curvas en superficies es el subespacio generado por combinaciones lineales de curvas paralelas a las componentes de frontera. Dem: Una inclusion es facil.

22 Dada el algebra de Lie de Goldman, es posible recobrar la superficie? Numero de componentes de frontera? (Calcular el centro, y usar la el teorema de Etingof y la conjetura) Genero? (Usar la caracterizacion de curvas simples y que 3.genero -3+fronteras es el numero maximo de clases simples distintas con representantes disjuntos.)

23 Cuando una superficie tiene frontera hay una correspondencia biyectiva entre: Palabras ciclicas reducidas en los generadores de grupo fundamental y sus inversos. Clases de homotopia libre en S a b b a a c

24 Receta para obtener (todas) las superficies: Pegar ejes de poligonos

25 Receta para obtener (todas) las superficies: Pegar ejes de poligonos

26 Los generadores del grupo fundamental

27 Representantes de aab

28 Las palabras aab y ab “hablan” acerca de sus puntos de intersecion

29 Teorema:Reinhart (60’s)(c/frontera) Cohen-Lustig (80’s)(c/frontera) Lustig (80’s)(s/frontera) El numero minimal de intersecciones de dos classes de homotopia de curvas en una superficie se puede contar usando las palabras ciclicas que rotulan las clases.

30 Para calcular el corchete [aab,ab] aab ba = aabba baa ab = baaab

31 El algebra de Lie algebra de curvas en superficies con frontera tiene una presentacion combinatoria. Mas aun, se pueden calcular corchetes en Theorem (C.) :

32 Teoremas (C - Krongold) Si W es una palabra ciclica reducida que no es una potencia propia de otra palabra entonces el numero de terminos del corchete [W 2,W 3 ] es veces el minimo numero de autointersecciones de representantes de W. O sea, cuando la superficie tiene frontera, el numero de terminos de “dice” el numero minimal de autointersecciones de representantes de una clase

33 X=ab, terms abab bababa baba ababab

34 Preguntas: Cuan “bueno” es este refinamiento? Identifica todos los puntos de interseccion no removibles? O es posible que haya cancelation? El corchete de Lie es un refinamiento del “intersection product” - b 1 b 2 x + b 2 b 1 x Numero de interseccion = 1-1=0

35 Son iguales? 1.El numero de terminos del corchete de dos classes, contados con multiplicidad 2. El numero minimal de intersecciones de las clases

36 No, el corchete de dos clases que siempre se intersecan puede ser 0 [aab,ab]= - aab ba + baa ab=0

37 Teorema (Goldman, 86) Si el corchete de dos clases es zero y una de las clases tiene un representante sin autointersecciones entonces las clases tienen representantes disjuntos. Sin embargo,

38 Teorema (C.) El corchete de Goldman de dos clases, una de ellas con representante simple, tiene tantos terminos como el minimo numero de intersecciones de las clases..

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40 Si la curva simple separa… El grupo fundamental es el producto libre con amalgamacion de los grupos fundamentales de las componentes conexas de S \ x, (x genera el grupo amalgamante) x x

41 Teorema Todo elemento de π \ {potencias de x} se puede escribir como el producto de una sequencia de elementos de π que pertencen (alternadamente) a los grupos fundamentales de las componentes conexas de of S\{la curva simple}. Estas secuencias de elementos se llaman reducidas.

42 Teorema Toda clase de conjugacion de π contiene elementos que pueden escribirse como productos de una sequencia tal que toda permutacion ciclica es reducida. Estas secuencias de elementos se llaman ciclicamente reducidas.

43 El corchete de una curva simple que separa y otra curva. Escribir la “otra curva” como el producto de terminos de una sequence ciclicamente reducida, +[w 1 w 2 w 3 w 4,x]= w 2 w 3 w 4 w 1 x - w 3 w 4 w 1 w 2 x + w 4 w 1 w 2 w 3 x - w 1 w 2 w 3 w 4 x

44 Observar Las secuencias w 1, w 2,.., w i x,..,w n y w 1, w 2,.., w j x,.., w n Son ciclicamente reducidas.

45 Teorema Si dos secuencias ciclicamente reducidas w 1, w 2....w n y v 1, v 2....v n son conjugadas entonces existe un numero entero k y una secuencia de elementos c 1, c 2....c n del grupo amalgamante tal que

46 Aplicar el teorema a w 1,w 2..,w i x,..w n y w 1,w 2..,w j x,..w n Existe una secuencia de elementos en el grupo generado por x, c 1, c 2....c n tal que

47 El caso de curvas que no separan Se puede tratar con los mismos metodos usando extensiones