Dolz, Pablo Joaquín. I.S.F.D Nº 107, Cañuelas. Bs. As. Argentina. Año 2011.

Función cuadrática Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresa, variación de la población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación. Además de características geométricas de la parábola son tales que tienen otras aplicaciones, tales como los espejos parabólicos en los faros de los coches y en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para radioastronomía y televisión por satélite presentan también este tipo de diseño.

Características Una función de la forma f (x) = a x ² + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a distinto de 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. Una función de la forma f (x) = a x ² + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a distinto de 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta. Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Ciertos elementos que la identifican

Raíces Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en: Dos raíces Una raíz Ninguna raíz

Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f(x) = 0, entonces ax² + bx +c = 0 Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula: Al resultado de la cuenta b² - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades: Si b² - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles. Si b² - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real. Si b² - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.

Simetría La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea Vértice El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría. Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función. En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba. El vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la siguiente manera:

Concavidad Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con observar el coeficiente del primer término (a), es decir el término que tiene la variable elevada al cuadrado. Si a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba. Si a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo. *Análisis Completo de la función cuadrática Conjunto Imagen En general: Si a > 0 el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞).Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞; xv]

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en el que son decrecientes.Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ∞), y decreciente en el intervalo (-∞;xv). Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞;xv), y decreciente en el intervalo (xv;-∞). Conjunto de Positividad y Negatividad Las raíces reales de una función, si es que existen, nos permitirán determinar los intervalos en los cuales la función es positiva y los intervalos en los cuales es negativa. Los intervalos de positividad (c+) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es positiva, es decir, donde f(x)>0. Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)<0. Máximo o mínimo Si a>0 la ordenada del vértice (yv) es el valor mínimo que alcanza la función, lo toma en xv. Si a< 0 la ordenada del vértice (yv) es el valor máximo que alcanza la función,lo toma en xv. Se lo llama extremo.

Expresiones de la función cuadrática FormaExpresiónParámetros Polinómica f(x) = a x² + bx +c f(x) = a x² + bx +c a, b, c Canónica f(x) = a ( x - xv )² + y v a, xv, yv Factorizadaf(x) = a ( x - x1 ). ( x - x2)a, x1, x2