Tema 7: Introducción a la inferencia estadística Estadística I. Finanzas y Contabilidad Tema 7: Introducción a la inferencia estadística Planteamiento y objetivos Estadísticos y distribución muestral Estimadores puntuales Estimadores por intervalos Lecturas recomendadas: Capítulos 19 a 21 del libro de Peña y Romo (1997).

Estadística I. Finanzas y Contabilidad Recordemos :

7.1 Planteamientos y objetivos Estadística I. Finanzas y Contabilidad 7.1 Planteamientos y objetivos Estadística Descriptiva: la edad media de una muestra de 20 votantes del PP es de 55 con desviación típica 5. Modelo Probabilístico: La edad de un votante del PP sigue una distribución normal N(m,s) N(54,2.1). calculamos probabilidades Inferencia: Usamos la muestra para adivinar m . Predecimos que m vale 55. Predecimos que m está en (52,57). Rechazamos la posibilidad de que m < 50.

Muestra aleatoria simple Estadística I. Finanzas y Contabilidad Muestra aleatoria simple Se elige al azar Cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido La selección se hace de manera independiente para cada individuo

7.2 Estadísticos y distribución muestral Estadística I. Finanzas y Contabilidad 7.2 Estadísticos y distribución muestral Distintas muestras tienen distintas medias. Antes de obtener la muestra, la media es una variable. La media y varianza de la media son Si N es suficientemente grande, la distribución de la media es normal Para ver como varia la media de distintas muestras: http://www.stat.tamu.edu/~west/ph/sampledist.html

7.2 Estadísticos y distribución muestral Estadística I. Finanzas y Contabilidad 7.2 Estadísticos y distribución muestral Distintas muestras tienen distintas medias. Antes de obtener la muestra, la media es una variable. La media y varianza de la media son Si n es suficientemente grande, la distribución de la media es normal Para ver como varia la media de distintas muestras: http://www.stat.tamu.edu/~west/ph/sampledist.html

7.3 Estimadores puntuales Estadística I. Finanzas y Contabilidad 7.3 Estimadores puntuales Usamos X como estimador de la media poblacional m. Dada una muestra, el valor de la media muestral x es la estimación de m. Buenas propiedades estadísticas: insesgado, eficiente, etc. insesgado: E[X]= m eficiente: Var[X] pequeña Igualmente, la varianza muestral S2 (cuasi-varianza) es un estimador razonable de s2: S2 =

7.4 Estimadores por intervalos Estadística I. Finanzas y Contabilidad 7.4 Estimadores por intervalos Queremos calcular un intervalo donde estemos bastante seguros de que esté m. Intervalo ancho muy impreciso Intervalo pequeño menos seguridad Método probabilístico: Elegir un nivel de confianza, por ejemplo 95% (o 90% o 99%) Elegir los límites del intervalo L(X1,…,XN), U(X1,…,XN) tal que P(L < m < U) = 95% Dados los datos de la muestra, el intervalo de 95% de confianza es (L(x1,…,xN), U(x1,…,xN))

Interpretación Estadística I. Finanzas y Contabilidad Si construimos muchos intervalos con el mismo método y el mismo nivel de confianza de 95%, un 95% de estos intervalos contendrán el parámetro que queremos estimar. http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/conf_interval/index.html Si hemos construido un solo intervalo de 95% de confianza, no es correcto decir que la probabilidad de que esté m dentro es de 95%. Antes de elegir la muestra, decimos: la probabilidad de que el intervalo contenga a m es de 95%. Eso me da confianza en el intervalo cuando ya tenga la muestra y lo haya calculado.

Estadística I. Finanzas y Contabilidad Un intervalo de 95% de confianza para la media de una población normal (varianza conocida)

Estadística I. Finanzas y Contabilidad Un intervalo de 95% de confianza para la media de una población normal (varianza conocida) Dada una muestra x1,…xN, el intervalo al 95% de confianza para m es ¿Qué es este 1.96? ¿Cuál sería el intervalo al 90% o el 99% de confianza? En general, el intervalo al 95% de confianza para μ es

Estadística I. Finanzas y Contabilidad Ejemplos 1. En una muestra de 20 catalanes, su sueldo medio era de € 2000 mensuales. Suponiendo que la desviación típica de los sueldos en Cataluña es de € 500, hallar un intervalo de 95% de confianza para el sueldo medio en Cataluña. 2. En una muestra de 10 estudiantes universitarios, la altura media era de 170cm. Suponiendo que la desviación típica de las alturas de los españoles es de 5cm, hallar un intervalo de 99% de confianza para la altura media.

Otros intervalos de confianza útiles Estadística I. Finanzas y Contabilidad Otros intervalos de confianza útiles Un intervalo de (1-α)100% de confianza para la media de una población normal (varianza desconocida) Un intervalo de (1-α)100% de confianza para la diferencia de las medias de dos poblaciones normales (varianzas conocidas)

Un intervalo de 95% de confianza para una proporción Estadística I. Finanzas y Contabilidad Un intervalo de 95% de confianza para una proporción Dada una muestra de tamaño N con proporción muestral , un intervalo de 95% de confianza para p es

Estadística I. Finanzas y Contabilidad Ejemplos 3. En una muestra aleatoria de 100 votantes, 45 de ellos votaron al PSOE en las últimas elecciones. Usar esta información para estimar la proporción de los votantes en España que votaron al PSOE. Dar una estimación puntual y un intervalo de confianza de 95%. 4. 20 personas en una muestra de 30 americanos están a favor de la pena de muerte. Estimar la proporción de la población americana que esté a favor y dar un intervalo de 90%.