1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local Evaluación Privada de Proyectos 1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual Horacio Roura

Conceptos básicos

Interés: Concepto Interés = Costo del capital = Retribución requerida por el uso del factor capital Todo capital tiene un costo (requiere una retribución) Explícito = el interés pagado por un préstamo Implícito = el interés dejado de ganar sobre el capital propio

Tasa de interés: Definición básica Supuesto: moneda constante o inflación = 0 Ejemplo: Si recibo hoy $1,000 para devolver $1,080 en dos meses, el interés bimestral es:

Tasa de interés e inflación: Teorema de Fisher Si la inflación (P) es distinta de 0 Donde r = tasa nominal k = tasa real

Tipos de interés Interés simple: el interés de cada período se retira de la imposición Interés compuesto: el interés de cada período aumenta el capital impuesto

Tipos de interés: Ejemplo y comparación

Interés compuesto: Ejemplo 1 Sea Capital: $1,000 Tasa: 10% anual, capitalizable anualmente Plazo: 1 año ¿Cuánto se tendrá al final del año?

Interés compuesto: Ejemplo 1 C1 = C0 (1+k)1 = $1,000 (1+0.10)1 = $1,100 1 1,000 1,100 C0 C1 = C0 (1+k)1 1,100 = 1,000 (1+0.1)1

Interés compuesto: Ejercicio 1 Sea Capital: $1,000 Tasa: 12% anual, capitalizable anualmente Plazo: 1 año ¿Cuánto se tendrá al final del año? ¿Y luego de 2 años? Al año: $1,000 (1+0.12) = $1,120 A los 2 años: $1,120 (1+0.12) = $1,000 (1+0.12)2 = $1,254.40

Interés compuesto: Período de capitalización – Ejemplo 2 ¿Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la capitalización de los intereses fuera semestral? 1/2 1 1,000 1,050 1,102.5 C0 C1 = C0 (1+k/2)1 1,050 = 1,000 (1+0.12)1 C2 = C1 (1+k/2)1 = C0 (1+k/2)2 1,102.5 = 1,000 (1+0.102) 2

Interés compuesto: Período de capitalización – Ejemplo 3 ¿Cómo variaría la operación anterior si la capitalización de los intereses fuera trimestral? 1/3 1/3 1/3 1 1,000 1,025 1,050.625 1,076.89 1,103.8 C0 C4 = C0 (1+k/4)4 1,103.8 = 1,000 (1+0.1/4)4

Interés compuesto: Ejercicio 2 Para un capital de $1,000 un banco nos ofrece dos opciones de inversión a plazo fijo: Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente Opción 2: 11.768% anual, capitalizable bimestralmente ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año de plazo? Opción 1: $1,000 (1+0.12/2)2 = $1,123.60 Opción 2: $1,000 (1+0.11768/6)6 = $1,123.60

Equivalencia de tasas Dos tasas de interés con diferente período de capitalización son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año: Ejemplo 2 anterior 11.768% anual capitalizable bimestralmente es equivalente a 12% anual capitalizable semestralmente es equivalente a 12.36% anual capitalizable anualmente

Equivalencia de tasas: Ejercicio 3 ¿A qué tasa de capitalización anual es equivalente una tasa del 13% anual capitalizable trimestralmente? (1 + kCA) = (1 + kCT/4)4  kCA = (1 + kCT)4 - 1 kCA = (1 + 0.13/4)4 = (1 + 0.0325)4 = 13.648%

Tasas nominal y efectiva Cuando el interés es capitalizable más de una vez por año, La tasa anual dada se llama tasa nominal anual La tasa efectivamente ganada se llama tasa efectiva anual Ejemplo 3 Tasa nominal anual: 11.768% Tasa efectiva anual: 12.36%

Tasas nominal y efectiva: Relación Para un cálculo preciso, 1 + TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t - 1 (para un cálculo menos preciso puede usarse un año de 360 días) Donde: TNA = tasa nominal anual vencida TE(m) = tasa efectiva para los m días m = número de días del período cuya tasa se busca t = número de días del subperíodo de capitalización

Tasas efectiva y nominal: Ejemplo 4 Sea TNA = 12% Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a 60 días? TE(60) = (1 + 12% . 30/365)60/30 - 1 = 1.982% $1,000 depositados a 60 días a una TNA = 12% capitalizable mensualmente generarán $19.82 de interés

Tasas efectiva y nominal: Ejemplo 5 Sea TNA = 12% Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a un año de plazo? TE(365) = (1 + 12% . 30/365)365/30 - 1 = 12.68342% TE(365) = (1 + 12% . 30/360)360/30 - 1 = 12.68250%

Tasa efectiva anual Es la tasa resultante de una colocación a la tasa efectiva periódica por los períodos necesarios para completar un año: TEA = (1 + TE(m))365/m O, de manera aproximadamente equivalente TEA = (1 + TNA . t/365)365/t

Tasa efectiva anual: Ejemplo 6 En el Ejemplo 4, TNA = 12%, capitalizable mensualmente TE(60) = 1.982% De allí, TEA = (1 + TE(m))365/m - 1 TEA = (1 + 0.01982)365/60 - 1 TEA = 12.68119% TEA = (1 + 12%. 30/365) 365/30 – 1 = 12.68342%

Ejercicio 4 Si TE(60) = 1%, ¿cuál es la TEA? TEA = (1 + TE(m))365/m - 1 TEA = (1 + 0.01)365/60 - 1 TEA = 6.24%

Ejercicio 4 (Cont.) Si el período de capitalización es de 30 días, ¿cuál es la TNA? 1 + TE(60) = (1 + TNA . 30/365)60/30 TNA = (1 + TE(60))30/60 – 1) (365/30) TNA = (1 + 0.01)30/60 – 1) (365/30) TNA = 6.068%

Interés compuesto: Período de capitalización continuo Si el período de capitalización es muy pequeño (diario, horario, por minutos o segundos), se trata de capitalización continua En ese caso, si TEA = (1 + TNA . t/365)365/t t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y TEA = eTNA TEA = eTNA.n Donde e = 2.718 y n la cantidad de años

Ejercicio 5 Se invierten $1,000 al 11% anual, capitalizados continuamente, por dos años. ¿Cuánto se obtendrá al final de la inversión? $1,000 e0.11x2 = $1,000 e0.22 = $1,000 . 1.246 = $1,246

Valor actual

Valor futuro y actual: Concepto El interés compuesto acumula intereses sobre un capital inicial, hasta una fecha dada El monto así obtenido es el valor futuro del capital inicial Inversamente, el capital inicial es el valor actual del monto a recibir en el futuro

Valor futuro y valor actual: Ejemplo 6 Valor actual (VA) de $106 Valor futuro (VF) de $100

Valor actual: Definición El valor actual de una cantidad futura expresa cuánto vale esa cantidad a pesos de hoy VA = VF / (1 + k)n Donde: VA = Valor actual VF = Valor futuro k = tasa de actualización, interés o descuento n = período donde se recibirá el valor futuro

Valor actual: Ejemplo 7 Un tío rico le informa que dentro de 6 años le hará un legado de $1 millón. Ud., que lleva una vida disipada, está dispuesto a recibir menos dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le ofrece $507 mil, si Ud. le transfiere el derecho a cobrar el legado. Si su tasa de interés es 12% anual, ¿le conviene la propuesta?

Valor actual y valor futuro: Despejando incógnitas Si VA = VF/(1+k)n Entonces,

Valor actual y valor futuro: Ejemplo 8 ¿Cuánto tiempo se demorará en acumular $2,250 si se depositan $1,000 al 1% mensual, capitalizable mensualmente?

Valor actual y valor futuro: Ejercicio 6 ¿A qué tasa se deberá depositar $1,000 para obtener $2,250 en 82 meses?

Valor actual neto El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien futuro En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica una erogación hoy El valor actual neto es la diferencia entre el valor actual del pago futuro y la inversión necesaria:

Valor actual neto: Ejemplo 8 Un conocido le propone comprar una casa deteriorada para reciclarla y venderla. La inversión (compra más arreglo) asciende a $250 mil. Si pudiera venderla en $300 dentro de 6 meses, ¿le convendría el negocio?

Valor actual neto: Ejemplo 8 - Solución

Valores actuales y tasas de descuento Para obtener el valor actual de un valor futuro se requiere una tasa de descuento La tasa de descuento se define como el interés que se hubiera ganado de haber invertido en la mejor inversión alternativa

Tasas de descuento: Ejemplo 9 En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa, reciclarla y venderla era invertir los $250 mil en una inversión financiera de riesgo equivalente. El interés utilizado para descontar los $300 futuros es lo que hubiera rentado invertir $250 por 6 meses.

Tasas de descuento y tasas de retorno En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo un retorno del 13.2% Esta inversión es muy interesante, pues rinde un retorno superior a su tasa de descuento

Relación entre valores actuales y valores futuros El valor actual de un valor futuro es siempre menor que ese valor futuro: $1 hoy vale más que $1 mañana Por que los $ actuales se pueden invertir y ganar interés por un período Porque los $ actuales son –en general– menos riesgoso que los futuros

Valor actual y valor futuro: El rol de los mercados de capitales El concepto de valor actual y valor futuro permite establecer equivalencias entre recibir (hacer) un pago hoy o en el futuro En la práctica, eso es posible debido a la existencia de un mercado de capitales El mercado de capitales es simplemente un mercado donde la gente intercambia $ de hoy por $ futuros, y viceversa

Mercado de capitales: Funcionamiento Suponga que Ud. tiene: $20,000 en la mano $25,000 a recibir dentro de un año Sus opciones son Consumir $20,000 hoy y $25,000 en un año No consumir nada hoy, invertir los $20,000 y consumir dentro de un año $20,000 (1+k) + $25,000 Consumir todo hoy: $20,000 + $25,000/(1+k)

Opciones entre consumo presente y consumo futuro Si k=7%, su riqueza total es $43.4 (a $ de hoy) o $46.4 (a $ futuros) $46.4 $21.4 = $20 (1+0.07) Pendiente = (1+0.07) Invierte $20 para consumir todo el año próximo $25 $20 $43.4 Pide prestado el valor actual de $25 para consumir todo hoy $23.4 = $25/(1+0.07)

Mercado de capitales e inversión en activos reales A medida que se va invirtiendo en proyectos no financieros, el retorno de los mismos disminuye $46.4 $37.8 $25 Rtn(P1) = (25-10)/10 = 2.5 Rtn(P2) = (13-10)/10 = 1.3 Rtn(P1) = (9-10)/10 = -0.1 $43.4 Proyecto1= $10 mil Proyecto 3 = $10 mil Proyecto 2 =$10 mil

Mercado de capitales e inversión en activos reales 0B (1+ k) Flujo futuro de la inversión C B A E Inversión en activos reales VAN = 0C/(1+k)-AB = BE - AB

Moraleja Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir pedir prestado en el mercado de capitales, el inversor puede colocarse en cualquier punto de DE Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si invirtiera solo en el mercado de capitales o solo en activos reales La riqueza se maximiza cuando se invierte en activos reales hasta igualar el costo de oportunidad del capital (DE // CA)  El VAN es el máximo alcanzable El mercado de capitales permite alcanzar luego la combinación adecuada de consumo presente y futuro

Consecuencia de la moraleja La regla para dirigir una empresa se reduce a maximizar el valor de la misma para los accionistas Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de consumo que prefieran Supuesto fuerte: libre acceso al mercado de capitales Maximizar la riqueza = elegir todos los proyectos que tengan un VAN positivo

Valor actual de flujos de más de un período Los proyectos generan flujos por más de un período El valor actual neto de un proyecto de esas características puede calcularse como

Valor actual de anualidades Si F1 = F2 = ... = Fn Coeficiente para el cálculo del valor actual de una anualidad constante

Valor actual de anualidades Si F1 = F2 = ... = Fn y n 0 Valor actual de una perpetuidad constante