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FUNCIONES Generalidades Tipos Clasificación

CLASIFICACION DE FUNCIONES Inyectiva Bijectiva Sobrejectiva Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es inyectiva y la función es sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función biyectiva.

CLASIFICACION DE FUNCIONES Creciente Decreciente Par Impar Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, ( 𝑥 1 , f ( 𝑥 1 )) y ( 𝑥 2 , f ( 𝑥 2 )) con 𝑥 1 < 𝑥 2 se tiene que f ( 𝑥 1 ) > f ( 𝑥 2 ). Cambia la relación de < a >. Siempre que de 𝑥 1 < 𝑥 2 se deduzca f ( 𝑥 1 ) > f ( 𝑥 2 ), se dice que la función es decreciente. La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >. Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera, se verifica que: f ( 𝑥 1 ) < f ( 𝑥 2 ). Se dice que una función es creciente si de 𝑥 1 < 𝑥 2 se deduce que f ( 𝑥 1 ) < f ( 𝑥 2 ). Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, ( 𝑥 1 , f( 𝑥 1 )) y ( 𝑥 2 , f( 𝑥 2 )) con 𝑥 1 < 𝑥 2 se tiene que f( 𝑥 1 ) < f( 𝑥 2 ). Prevalece la relación <. si f(x) = f (-x). si f(x) = -f (-x). Ejemplo: La función 𝑦= 𝑥 2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. La función 𝑦= 𝑥 2 es par ya que f (-x) = (−𝑥) 2 = 𝑥 2 Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

GENERALIDADES Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; llamados conjunto de llegada y conjunto se salida, en la función el conjunto de salida y el dominio son el mismo, el dominio y el rango son conjuntos. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango. Se dice que f: A  B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado rango B)  El intercepto en el eje y se halla reemplazando a x por 0, y el intercepto en el eje x se halla igualando la función a 0 y solucionando la ecuación resultante. Las variables dependientes como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. La variable independiente no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. Llamamos gráfica de una función real de variable real de A en B al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos tienen como coordenadas (x, y) donde x ∈ A y y ∈ B. El dominio de una función son todos los valores que toma el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado rango, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje x, y que nos generan una asociación en el eje y. El otro conjunto llamado rango, es la gama de valores que toma la función; en el caso del plano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y. No estamos en presencia de una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

TIPOS DE FUNCIONES Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor absoluto Por partes Trigonométrica Grado impar Grado par Grado cero Lineal Cúbica Cuadrática Constante Afín Lineal Idéntica

FUNCIÓN POLINÓMICA Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones: Elementos Dominio= Conjunto de Salida= Reales Conjunto de llegada=Reales Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x) que corresponde a un polinomio obtenido como la suma de los polinomios representativos de f (x) y g (x). Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x) determinada por el polinomio resultante de multiplicar todos los coeficientes de f (x) por l. Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x), cuyo polinomio representativo resulta del producto de los polinomios que definen f (x) y g (x).

En la función cuadrática c indica el punto de corte con y. Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y= ax2+bx+c La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. En la función cuadrática c indica el punto de corte con y. Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito. Ejemplo: y= 2x2+5x+4 Elementos Punto de corte con y = 4 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango: [ −5 4 , infinito) X= Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo relativo. Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos donde llega la parábola, se usa la ecuación:

FUNCIÓN CONSTANTE Ejemplo: y = 2 Elementos Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = {a} Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a, donde a pertenece a los números reales. No depende de ninguna variable.

FUNCIÓN LINEAL m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación: y - x son dos variables Dominio= Conjunto de Salida= Reales Rango= Reales (con excepción a la función constante). Conjunto de llegada = Reales. En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función. Si m > o: la función es creciente Si m < 0: la función es decreciente Si m = 0: la función es constante

FUNCIÓN LINEAL Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx Ejemplo: y = 2x Elementos Punto de corte con x: 0 Punto de corte con y: 0 Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Dominio= Reales Rango= Reales Pendiente = 2

FUNCIÓN IDÉNTICA Ejemplo: y = x Elementos Punto de corte con x = 0 Punto de corte con y = 0 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango =Reales Pendiente = 1 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente. A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas .

FUNCIÓN AFÍN Ejemplo: y = 2x+3 Elementos Punto de corte con x: 3 2 Punto de corte con y: 3 Conjunto de salida: Reales Conjunto de llegada: Reales Dominio: Reales Rango: Reales Pendiente: 2 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.

Cuando m>0, n>0 la gráfica es

Función cúbica Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2 Elementos Punto de corte con x = -1.5 Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = Reales F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito) Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: