INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Si la variable x tiene una distribución de media μ, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media, (μ - k, μ + k), tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p: P(μ – k < x < μ + k) = p Área=0,05 Área=0,9 Área=0,05 k 0 k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Ejemplo_1 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9. Si dentro del intervalo hay un área de 0,9, fuera de él habrá 0,1. Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,05. Por tanto: P (z > k) = 0,05  P (z ≤ k) = 0,95 En las tablas encontramos p(1,64) = 0,9495, p (1,65) = 0,9505. Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir, k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,6451) = 0,9. Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,6451], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

PRINCIPALES VALORES CRÍTICOS En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2 zα/2 0,9 0,05 1,645 0,95 0,025 1,96 0,99 0,005 2,575 k 0 k=zα/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Ejemplo_2 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,95. Si dentro del intervalo hay un área de 0,95, fuera de él habrá 0,05. Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,025. Por tanto: P (z > k) = 0,025  P (z ≤ k) = 1 – P (z > k) = 0,975 En las tablas encontramos p(1,96) = 0,975. Hemos encontrado un intervalo [-1,96; 1,96], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 95% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Ejemplo_3 Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,99. Si dentro del intervalo hay un área de 0,99, fuera de él habrá 0,01. Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,005. Por tanto: P (z > k) = 0,005  P (z ≤ k) = 0,995 En las tablas encontramos Ф(2,57) = 0,9949 y Ф(2,58) = 0,9951 Tomamos un valor intermedio entre ambos: k = 2,575, que nos asegure o aproxime a que su probabilidad sea p=0,9950 Hemos encontrado un intervalo [-2,575; 2,575], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 99% del total. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Intervalos en N(μ, σ) A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar N( 0, 1) , mediante el cambio de variable: X - μ Z = --------- σ Operando tenemos: X - μ = Z.σ  X = μ + Z.σ En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p=1 – α es: (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) Ejemplo Para el 90% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo. (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,645.6 , 50 + 1,645.6) = = ( 50 – 9,87, 50 + 9,87) = (40,13, 59,87) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS Y VALORES CRÍTICOS En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Probabilidades Valor crítico Intervalos característicos 1 – α α/2 zα/2 (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) 0,9 0,05 1,645 (μ – 1,645.σ , μ + 1,645.σ) 0,95 0,025 1,96 (μ – 1,965.σ , μ + 1,96.σ) 0,99 0,005 2,575 (μ – 2,575.σ , μ + 2,575.σ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

INTERVALOS Y NIVEL DE CONFIANZA k 0 k=zα/2 0,05 0,90 0,05 0,025 0,95 0,025 0,005 0,99 0,005 – 4.σ – σ μ + σ + 4.σ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS