4 Ecuaciones de primer y segundo grado La organización de los transportes por ferrocarril, de viajeros o de mercancías, requiere de la resolución de múltiples problemas de encuentro y alcance de móviles para aprovechar todas las posibilidades que esta red ofrece. 4 INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD

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Ecuaciones de primer y segundo grado Esquema de contenidos Ecuaciones de primer y segundo grado Identidades y ecuaciones Conceptos Elementos de una ecuación Ecuaciones de primer grado Transposición de términos Método general de resolución Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones completas Ecuaciones incompletas Estudio del número de soluciones Discriminante Resolución de problemas Con ecuaciones de primer grado Problemas de móviles Problemas de mezclas Con ecuaciones de 2.º grado

Hacemos los productos indicados Ecuaciones de primer grado con denominadores Resuelve la ecuación Justifica cada paso que haces. Quitaremos primero denominadores, multiplicando los dos términos de la expresión por m.c.m.(6,4,5) = 60. Simplificamos 60 con cada denominador 12 · (2x –15) + 120 = 10 · (x + 7) – 15 · (x – 1) Hacemos los productos indicados 24 x – 180 + 120 = 10 x + 70 – 15 x + 15 Transponemos términos para agrupar los términos con x en un miembro y los demás, en otro 24 x –10 x +15 x = 70 +15 +180 – 120 Simplificamos en cada miembro 29 x = 145 SIGUIENTE 5 Despejamos x x = 145 / 29 =

Problemas de mezclas Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? SIGUIENTE

Problemas de mezclas Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? Se trata de un problema de mezclas: se ponen 60 unidades de un determinado “precio” (una nota) y 40 unidades de otro (la otra nota), para dar 100 unidades de “mezcla” (la nota global). Influirá más, lógicamente, la primera nota. SIGUIENTE

Problemas de mezclas 60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? Si la nota global (“precio de la mezcla”) es x, se ha de cumplir: 60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x SIGUIENTE

Problemas de mezclas 60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? En el primer caso, si la nota global (“precio de la mezcla”) es x, se ha de cumplir: 60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x 620 = 100 · x x = 620 / 100 = 6,2 SIGUIENTE

Problemas de mezclas 60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? En el primer caso, si la nota global (“precio de la mezcla”) es x, se ha de cumplir: 60 · 7 + 40 · 5 = 100 · x 620 = 100 · x x = 620 / 100 = 6,2 Se obtiene así la media ponderada de las notas 7 y 5, con los pesos 60 y 40. Para el segundo alumno, se tiene: 60 · 5 + 40 · 7 = 100 · x , de donde sale que x = 5,8 SIGUIENTE

Problemas de mezclas Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? En la última pregunta, la incógnita no es la nota global (se desea un 7,5), sino la nota del examen. Llamemos x a esa nota desconocida y planteemos la conocida igualdad para mezclas: SIGUIENTE

Problemas de mezclas 60 · 6,5 + 40 · x = 100 · 7,5 390 + 40 x = 750 Los problemas de mezclas tienen aplicaciones en diversas situaciones en las que no se mezclan substancias. Para obtener la nota global de Selectividad, la nota del expediente cuenta el 60 % y la nota obtenida en los exámenes de selectividad cuenta el 40 %. ¿Cuál es la nota global de un alumno que tiene 7 y 5, respectivamente, en cada apartado? ¿Y la de otro que tenga 5 y 7? Si yo tengo de nota del expediente un 6,5, ¿qué nota debo sacar en el examen de Selectividad para obtener un 7,5 de nota global? En la última pregunta, la incógnita no es la nota global (se desea un 7,5), sino la nota del examen. Llamemos x a esa nota desconocida y planteemos la conocida igualdad para mezclas: 60 · 6,5 + 40 · x = 100 · 7,5 390 + 40 x = 750 40 x = 750 – 390 = 360 x = 360 / 40 = 9 Para sacar la nota global 7,5, he de obtener en el examen un 9.

Problemas de móviles En los problemas de móviles, hay dos situaciones bien diferentes. En una, los dos móviles van a encontrarse y en la otra, uno trata de alcanzar al otro. En ambos casos, se suponen que ambos se mueven con velocidad constante. Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto tardarán en encontrarse? Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré recorrido? El primer problema es de encuentro; el segundo, de alcance. SIGUIENTE

Problemas de móviles: encuentro Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto tardarán en encontrarse? El gráfico ayuda a comprender la situación. Tomamos como incógnita, t, el tiempo que tardan en encontrase, y razonamos sobre el espacio recorrido por ambos coches hasta que se encuentran en P. 105 km/h 95 km/h B 240 km P A SIGUIENTE

Problemas de móviles: encuentro Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto tardarán en encontrarse? El gráfico ayuda a comprender la situación. Tomamos como incógnita, t, el tiempo que tardan en encontrase, y razonamos sobre el espacio recorrido por ambos coches hasta que se encuentran en P. 105 km/h 95 km/h B 240 km P A El coche que sale de A recorre en t horas, 105 · t kilómetros, y el que sale de B, 95 · t kilómetros. Sumados los dos recorridos se ha de obtener 240 km. Luego, la ecuación es: SIGUIENTE

105 t + 95 t = 240 200 t = 240 Problemas de móviles: encuentro B P A Un coche va de la ciudad A a la ciudad B, distantes entre sí 240 km, a 105 km/h. Otro va de B a A a 95 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán? ¿Cuánto tardarán en encontrarse? El gráfico ayuda a comprender la situación. Tomamos como incógnita, t, el tiempo que tardan en encontrase, y razonamos sobre el espacio recorrido por ambos coches hasta que se encuentran en P. 105 km/h 95 km/h B 240 km P A El coche que sale de A recorre en t horas, 105 · t kilómetros, y el que sale de B, 95 · t kilómetros. Sumados los dos recorridos se ha de obtener 240 km. Luego, la ecuación es: 105 t + 95 t = 240 , es decir, 200 t = 240 De aquí, t = horas = 1,2 horas = 1 hora 12 minutos. Se encontrarán a 105 · 1,2 = 126 km de A. SIGUIENTE

Problemas de móviles: alcance Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré recorrido? Yo Enrique P Situación a las 9 h 30 min 12,5 km Hacemos un gráfico en la última de las referencias horarias, a las 9 h 30 min Enrique ha recorrido en ese tiempo 25 · 1/2 =12,5 km. Sea t el tiempo a partir de las nueve y media que tardo en alcanzar a Enrique. SIGUIENTE

Problemas de móviles: alcance Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré recorrido? Yo Enrique P Situación a las 9 h 30 min 12,5 km Hacemos un gráfico en la última de las referencias horarias, a las 9 h 30 min Enrique ha recorrido en ese tiempo 25 · 1/2 =12,5 km. Sea t el tiempo a partir de las nueve y media que tardo en alcanzar a Enrique. Yo recorro hasta alcanzarlo, 35 · t , mientras que Enrique recorre 25 · t . Restados los dos recorridos debe dar 12,5 km, la distancia que debo compensarle a Enrique. Luego, la ecuación es: SIGUIENTE

Problemas de móviles: alcance Mi amigo Enrique salió en bicicleta a las 9 de la mañana a 25 km/h. A las nueve y media salí yo a 35 km/h. ¿A qué hora lo alcanzaré? ¿Cuántos kilómetros habré recorrido? Yo Enrique P Situación a las 9 h 30 min 12,5 km Hacemos un gráfico en la última de las referencias horarias, a las 9 h 30 min Enrique ha recorrido en ese tiempo 25 · 1/2 =12,5 km. Sea t el tiempo a partir de las nueve y media que tardo en alcanzar a Enrique. Yo recorro hasta alcanzarlo, 35 · t , mientras que Enrique recorre 25 · t . Restados los dos recorridos debe dar 12,5 km, la distancia que debo compensarle a Enrique. Luego, la ecuación es: 35 t – 25 t = 12,5 , es decir, 10 t = 12,5 Así, t = = 1,25 horas = 1 hora 15 minutos después de las 9 h 30 min, o sea, lo alcanzaré a las 10 h 45 min y habré recorrido: 35 · 1,25 = 43,75 km.

Problemas con ecuaciones de segundo grado Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua Babilonia, hace 3.800 años. Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da 6,25. ¿Cuál es su lado? SIGUIENTE

x Problemas con ecuaciones de segundo grado Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua Babilonia, hace 3.800 años. Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da 6,25. ¿Cuál es su lado? Observa que no se suman magnitudes, pues una es longitud y otra superficie. Se suman los números que indican las medidas. Si x es el lado del cuadrado, x2 es su superficie. El enunciado se transforma en la ecuación: 7 x + 11 x2 = 6,25 x SIGUIENTE

x Problemas con ecuaciones de segundo grado Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua Babilonia, hace 3.800 años. Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da 6,25. ¿Cuál es su lado? Observa que no se suman magnitudes, pues una es longitud y otra superficie. Se suman los números que indican las medidas. Si x es el lado del cuadrado, x2 es su superficie. El enunciado se transforma en la ecuación: 7 x + 11 x2 = 6,25 Tenemos la ecuación de 2.º grado: 11 x2 + 7 x – 6,25 = 0. x SIGUIENTE

x Problemas con ecuaciones de segundo grado Muchos problemas se reducen a la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Veamos uno que fue aparece propuesto y resuelto en la antigua Babilonia, hace 3.800 años. Tengo un cuadrado y he sumado 7 veces su lado con 11 veces su superficie y da 6,25. ¿Cuál es su lado? Observa que no se suman magnitudes, pues una es longitud y otra superficie. Se suman los números que indican las medidas. Si x es el lado del cuadrado, x2 es su superficie. El enunciado se transforma en la ecuación: 7 x + 11 x2 = 6,25 Tenemos la ecuación de 2.º grado: 11 x2 + 7 x – 6,25 = 0. x El lado mide 0,5 unidades. La solución negativa no tiene sentido.

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Actividad: Ecuaciones en equilibrio Dirección: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html?open=instructions Los dos miembros de una ecuación tienen una perfecta interpretación como platos de una balanza. Esto se utiliza en esta actividad para resolver ecuaciones. Para conocerlo, sigue este enlace.