Ejercitación Cálculo I

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Transcripción de la presentación:

Ejercitación Cálculo I Carola Muñoz R.

Ejercicios Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: Si a + b = 0  a + c = 0  b = c Demostración: Asociatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( b + a ) + c Conmutatividad ---------- > b + ( a + c ) = ( a + b ) + c utilizando las hipótesis dadas: Neutro aditivo ---------- > b + 0 = 0 + c  b = c

Ejercicios Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que:  ( x ) = x Demostración: Se tiene que x + ( x) = 0, esta ecuación dice que x es el inverso aditivo de  x. x =  ( x )

Ejercicios Demostración: Previamente se demostrará que ( 1) a = ( a) Utilice axiomas de cuerpo para demostrar que: ( x ) y =  ( x y ) = x ( y ) Demostración: Previamente se demostrará que ( 1) a = ( a) a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a = ( 1 + ( 1)) a ---------- > Distributividad = 0 a ---------- > Inverso aditivo a + (  a) = 0 ---------- > Inverso aditivo

entonces: a + (  a) = a + ( 1) a a + (  a) + (  a) = a + ( 1) a + (  a) --> Inverso aditivo de ( a ) 0 + (  a) = 0 + ( 1) a (  a) = ( 1) a Teniendo en cuenta lo demostrado anteriormente se tiene que: (  x ) y = [ ( 1 ) x ] y = x [ ( 1 ) y ] --> Conmutatividad = x ( y ) (  x ) y = ( x y ) = x ( y ) = ( 1 ) x y --> Conmutatividad = ( x y )

Ejercicios Si a2 + b2 = 1,  c2 + d2 = 1, demostrar que a c + b d  1 Demostración: ( a  c )2  0 -------> a2  2ac + c2  0 ( b  d )2  0 -------> b2  2bd + d2  0 a2 + b2  2ac  2bd + c2 + d2  0 1  2ac  2bd + 1  0 2  2ac  2bd  0 1  ac + bd 2 ( 1  ac  bd )  0 /  2 ------------->

Ejercicios Si a  b  c , a, b, c,  + . Demostrar que

Ejercicios Si a  b  c , a, b, c,  + . Demostrar que ( a  c )2 > 0 -------> a2 + c2 > 2ac ( a  b )2 > 0 -------> a2 + b2 > 2ab ( b  c )2 > 0 -------> b2 + c2 > 2bc a2 + c2 > 2ac /  b -------> b (a2 + c2) > 2abc a2 + b2 > 2ab /  c -------> c (a2 + b2) > 2abc b2 + c2 > 2bc /  a -------> a (b2 + c2) > 2abc b (a2 + c2) + c (a2 + b2) + a (b2 + c2) > 6abc

Ejercicios Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b Demostración: ( a  b )2 > 0 a2  2ab + b2 > 0 / + 2ab a > b / + a a > b / + a a2  2ab + 2ab+ b2 > 0 + 2ab a + a > b + a a2 + b2 > 2ab / + 2ab a + a > b + a 2 a > a + b /  (a+b) a2 + 2ab + b2 > 2ab + 2ab / + 2ab 2 a > a + b /  2 ( a + b)2 > 4ab /  a > ( a + b ) a + b > 2 / 1/2 ( a + b ) >

Ejercicios Si a > b > 0, demostrar que: a > (a + b ) > > > b Demostración: a > ( a + b ) ( a + b)2 > 4ab /  (ab)2 ( a + b ) > TRANSITIVIDAD a > (a + b ) > > > b

Ejercicios Si a, b, c  , demostrar que: b2c2 + c2a2+ a2b2  abc ( a + b + c ) Demostración: Como ( a  b )2  0 -------> a2 + b2  2ab Como ( b  c )2  0 -------> b2 + c2  2bc Como ( c  a )2  0 -------> c2 + a2  2ca a2 + b2  2ab /  c2 b2 + c2  2bc /  a2 c2 + a2  2ca /  b2 ( a2 + b2 ) c2  2abc2 ( b2 + c2 ) a2  2bca2 ( c2 + a2 ) b2  2cab2 b2a2 + c2a2  2bca2 c2b2 + a2b2  2cab2 a2c2 + b2c2  2abc2 a2c2 + b2c2 + b2a2 + c2a2 + c2b2 + a2b2  2abc2 + 2bca2 + 2cab2 2 a2c2 + 2b2c2 + 2c2a2  2abc2 + 2bca2 + 2cab2 2 (b2c2 + c2a2 + a2b2 )  2bca ( a + b + c ) b2c2 + c2a2 + a2b2  abc ( a + b + c )

Ejercicios Demuestre que : Se busca el mínimo común denominador que es el mínimo común múltiplo bc ( b + c ) + ac (a + c ) + ab ( a + b ) + 2abc Se desarrolla el numerador b2c + bc2 + a2c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc Se desarrolla el denominador b2 c + bc2 + a2 c + ac2 + a2b + ab2 + 2abc