DERIVADA DE UNA FUNCION REAL Prof.: Cecilia Contreras

INTERPRETACIÓN GEOMETICA DE LA DERIVADA Sea f(x) función y L recta secante. Sean P = ( x , f(x) ) y Q = (x +h, f(x +h)), dos puntos que pertenecen simultáneamente a la recta y a la función.

GRAFICO

La razón representa a la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q. A medida que h tiende a cero, el punto Q se aproxima cada vez más a P, por lo tanto la recta secante está más próximo a ser recta tangente.

GRAFICO

Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por: mt = Entonces cuando h 0 la pendiente de la recta secante se transforma en pendiente de la recta tangente en el punto P. Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por: mt =

DEFINICIÓN El límite utilizado para definir la pendiente de la tangente se usa también para definir una de las operaciones fundamentales del cálculo LA DERIVADA. Siempre que el limite exista.

NOTACIÓN Otras notaciones comunes para la derivada de la función f(x) son:

EJERCICIO Encuentre: La derivada de f(x) = x3 + 2x La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 3) La ecuación de la recta tangente a la curva en P

REGLAS DE DERIVACIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

EJERCICIO Derive la siguiente función:

REGLA DE LA CADENA   Se refiere a la derivada de funciones compuestas. Dada la función fog = f(g(x)), se debe derivar f y g, por lo tanto esta regla nos permite derivar la función compuesta.

TEOREMA Si y = f(u) es una función derivable de u y u =g(x) una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable de x, esto es:

EJEMPLO La derivada de y con respecto a u viene dada por: = 12 u2 Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4, entonces la función compuesta viene dada por y = f(g(x)), La derivada de y con respecto a u viene dada por: = 12 u2 La derivada de u con respecto a x viene dada por: = 10 x

EJEMPLO Por lo tanto, la derivada de la función y con respecto a la variable x viene dada por: y como u = 5x2 + 4, entonces finalmente la derivada viene dada por

REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA CON REGLA DE LA CADENA Si n es cualquier número real, f(x) y g(x) funciones, entonces:

EJERCICIO Derive la siguiente función

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f’(x). Si f’(x) es una función entonce la derivada existe y se denota por f’’(x), la cual se llama segunda derivada. En general la n- ésima derivada de una función viene dada por fn(x).

EJEMPLO Encuentre la tercera derivada de

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL f(x) = Ln (g(x)) f’(x) = FUNCIÓN LOGARITMO DECIMAL f(x) = Loga(g(x))

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES FUNCION EXPONENCIAL 3.1. f(x) = eg(x) f’(x) = g’(x) eg(x) 3.2. F(x) = bg(x) f’(x) = g’(x) bg(x) Ln(b)

DERIVACIÓN IMPLICITA Todas las funciones vistas hasta ahora son funciones de la forma: y = f(x), esto es, una de las dos variables está dada explícitamente en términos de la otra; por ejemplo: y = x+3 o y = 2x2 + 3x + 1  

DERIVACIÓN IMPLICITA xy = 1+ x3 ; x2 + y2 = 5xy. Existen muchas funciones que vienen dadas implícitamente: xy = 1+ x3 ; x2 + y2 = 5xy.   Por lo tanto para derivar f(x), se utiliza la Derivación Implícita.

DERIVACIÓN IMPLICITA Para derivar funciones que vienen dadas implícitamente, se sigue el el siguiente procedimiento: Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a x. Cuando existan términos que contienen a y se debe aplicar regla de la cadena, porque se esta suponiendo que y está definida implícitamente como una función de x.

DERIVACIÓN IMPLICITA Dejar a un lado de la igualdad todos aquellos términos que contengan y’, y al otro lado los demás términos Factorizar por y’. Finalmente despejar y’.  

EJEMPLO Derivar implícitamente la siguiente función: x2y + 2y3 = 3x + 2y.  

SOLUCIÓN 1. Se derivan ambos lados de la ecuación con respecto a x: (x2y)’ + (2y3)’ = (3x)’ + (2y)’ (x2y)’ = 2xy + x2 y’ (2y3)’ = 6y2 y’ (3x)’ = 3 (2y)’ = 2 y’   Sumando se tiene: 2xy + x2 y’ + 6y2 y’ = 3 + 2y’

SOLUCIÓN 2. Aislando a un lado de la ecuación aquellos términos con y’, nos queda:   x2 y’ + 6y2 y’ - 2 y’ = 3 - 2xy 3.      Factorizando por y’:   y’( x2 + 6y2 - 2 ) = 3 - 2xy  4.      Despejando y’ nos queda: y’ = 3 – 2xy x2 + 6y2 - 2

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

F. CRECIENTE Y DECRECIENTE En que intervalos la función crece y/o decrece.

f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2 FUNCIÓN CRECIENTE Una función f definida en algún intervalo se dice que es creciente en dicho intervalo si solo si: f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2

f(x1) > f(x2) siempre que x1< x2 FUNCIÓN DECRECIENTE Una función f definida en algún intervalo se dice que es decreciente en dicho intervalo si solo si: f(x1) > f(x2) siempre que x1< x2

TEOREMA Sea f una función continua en [a,b] y derivable en un intervalo (a,b) se tiene que:

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

VALOR MAXIMO RELATIVO Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que:

VALOR MINIMO RELATIVO Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal que:

PUNTO CRITICO f’(c) = 0 o si f’ no está definida en c. Si la función f está definida en un punto c, se dirá que c es un número critico de la función f si f’(c) = 0 o si f’ no está definida en c.

OBSERVACIÓN Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c

TEOREMA Los extremos relativos solo ocurren en los puntos críticos.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Procedimiento para elaborar la gráfica de una función utilizando el criterio de la primera derivada Calcular la primera derivada para encontrar los puntos críticos. Marcar los puntos críticos en una recta numérica, quedando dividida en intervalos. Luego evaluar la derivada para valores mayores y menores que los puntos críticos , para determinar el signo de ella.

Utilizar el teorema para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0, entonces: 4.1. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, f(c) es un max relativo de f. 4.2 Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un min relativo de f. 4.3. Si f’(x) no cambia de signo en c, f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. 5. Para cada punto crítico c encontrar f ( c).

EJEMPLO Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7

SOLUCION 1. Dada la función encontramos la primera derivada. f’(x) = 6x2 + 6x –12 2. Igualamos f’(x) a cero, esto es: f’(x) = 0 3. Encontramos los puntos críticos, resolviendo la ecuación resultante.   6x2 + 6x –12 =0 6(x + 2)(x – 1) = 0 x = - 2 y x = 1

SOLUCION Ubicar los puntos críticos en una recta numérica como la siguiente:  

SOLUCION En la última fila se puede obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, esto es: Intervalos de crecimiento: Intervalo de decrecimiento:

SOLUCION De acuerdo a la tabla del punto 4, se concluye que hay un máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x =1. Las coordenadas de los puntos críticos, reemplazandolos en f(x), son: f(2) = 13 y f (1) = -14

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

CONCAVIDAD Sea f definida en un intervalo: f es cóncava hacia arriba si la gráfica se dobla hacia arriba f es cóncava hacia abajo si la gráfica se dobla hacia abajo

CONCAVA HACIA ARRIBA Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia arriba en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la grafica de f esté arriba de la recta tangente en P.

CONCAVA HACIA ABAJO Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia abajo en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la grafica de f esté bajo la recta tangente en P.

TEOREMA Sea f una función derivable en (a, b) con c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f”(x) existe, entonces: Si f”(x) > 0 , entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba. Si f”(x) < 0, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo.

PUNTO DE INFLEXION Sea f una función cuya recta tangente en (c, f (c)). Se dice que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexión si la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0 y f” existe, entonces: Si f”(c) > 0, f tiene un mínimo local Si f”(c) < 0, f tiene un máximo local Si f”(c) = 0 entonces esta prueba no es concluyente. Usar el criterio de la primera derivada.

EJEMPLO En la siguiente función, encuentre los extremos locales utilizando el criterio de la segunda derivada Dada la función f(x) = 4x3 + 7x2 – 10x+8

DERIVADA DE UNA FUNCION REAL