LOGICA Y MATEMATICA COMPUTACIONAL Profesora Responsable: Esp. Prof. Liliana Caputo

DIVISIBILIDAD CONGRUENCIA MODULO n ARITMETICA MODULAR

DEFINICION Llamamos conjunto de números enteros, Z, a la unión del conjunto de enteros no negativos (N o ) y el conjunto de los opuestos de los números naturales. Es decir: Si N - = {-n / n  N}, entonces: Z = N o  N - Recordemos las propiedades que cumplen la suma y la multiplicación de números enteros: 1. Ley de cierre:  a, b  Z: a + b  Z  a.b  Z. 2. Propiedad asociativa:  a,b,c  Z: (a+b)+c = a+(b+c)  (a.b).c = a.(b.c)

PROPIEDADES 3. Propiedad conmutativa:  a, b  Z: a + b = b+ a  a.b = b.a 4. Existencia de elemento neutro:  a  Z: a + 0 = a  a.1 = a 5. Existencia de opuesto para cada elemento:  a  Z,  - a  Z / -a + a = 0 6. Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:  a,b,c  Z: (a + b).c = a.c +b.c

ESTRUCTURA DE (Z, +,.) Por cumplirse estas propiedades: (Z, +) es grupo conmutativo o abeliano (Z, +,.) es anillo conmutativo con unidad. Como, además, se cumple que: a.b = 0  a = 0  b = 0 (Z, +,.) es dominio de integridad

DESARROLLO DECIMAL DE UN NUMERO ENTERO Todo número entero puede expresarse como la suma de sus cifras por potencias de 10: a n-1 ….a 1 a o = a o 10 o + a …+a n-1 10 n-1 Ejemplos: 1342 = 2.10 o = o

ALGORITMO DE DIVISION ENUNCIADO: Si a, b  Z y b  0, existen y son únicos q, r  Z / a = b.q + r, donde 0  r <  b . q es el “cociente” y r es el “resto” de dividir a por b. En cambio, a es el “dividendo” y b es el “divisor”. Ejemplos: 294 = = -11(-12) = 71(-3) =

DIVISIBILIDAD Si a, b  Z y b  0, y el resto de dividir a por b es cero, se dice que a es múltiplo de b, que b es divisor de a o que b divide a “a”. En símbolos: a  b   q  Z / a = q.b

PROPIEDADES 1.  a  Z – {0}: a  a  a  -a 2.  a  Z : 1  a  -1  a 3.  a  Z : a  0 4. a, b  Z  b  0  b  a  c  Z: b  a.c 5. a, b  Z - {0}, c  Z / b  a  a  c  b  c 6. b  Z - {0}, c  Z / b  a  b  c  b  a+c 7.  a  Z – {0},  n  N: a  a n

NUMEROS PARES E IMPARES x  Z es par   k  Z / x = 2.k es decir, si 2  x x  Z es impar  x  Z no es par   h  Z / x = 2.h + r, con 0 < r < 2 es decir, con r = 1 con lo cual se tiene que si x es impar, x = 2.h + 1, para algún h  Z.

NUMEROS PRIMOS Sea p  Z. Decimos que p es primo si, y sólo sí, p tiene exactamente 4 divisores: 1, -1, p y -p Los números enteros que no son primos, se llaman compuestos. Ejemplos: Son primos 2, 3, 5, 7, 11,… Son compuestos 0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12,…

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA ENUNCIADO: Todo número natural, mayor que 1, se puede descomponer como el producto de un número finito de factores primos. Esta factorización es única, salvo por el orden de los factores. Ejemplos: 385 = =

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 1. Un número de dos o más cifras es múltiplo de 2 si la cifra de las unidades es 0, 2, 4, 6 u Un número de dos o más cifras es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de Un número de dos o más cifras es múltiplo de 5 si la cifra de las unidades es 0 ó 5.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 4. Un número de dos o más cifras es múltiplo de 7 si la diferencia entre el número resultante de eliminar la cifra de las unidades y el doble de ésta es un múltiplo de Un número de dos o más cifras es múltiplo de 11 si la diferencia entre las sumas de las cifras que ocupan lugares pares e impares es un múltiplo de 11.

EJEMPLOS ¿254 y 553 son múltiplos de 7? Vemos que 25 – 4.2 = 17 que no es múltiplo de 7. 7 no es divisor de 254. En cambio, 55 – 6 = 49, que sí es múltiplo de 7. Luego 553 es múltiplo de 7.

EJEMPLOS ¿2532 y 1287 son múltiplos de 11? (2 + 5) – (3 + 2) = 2, no es múltiplo de (7 + 2) – (8 + 1) = 0, que sí es múltiplo de 11.

MAXIMO COMUN DIVISOR Sean a y b números enteros. d  N es el máximo común divisor (mcd) de a y b, si, y sólo sí, se cumple: 1. d  a  d  b 2. p  a  p  b  p  d Ejemplo: Los divisores naturales comunes de 12 y 18 son: 1, 2, 3 y 6. Luego: mcd(12,18) = 6

ALGORITMO DE EUCLIDES Se usa para calcular el mcd de dos números. Si r 0 y r 1  Z / r 1  0. Entonces: r 0 = q 1 r 1 + r 2, con 0 < r 2 <  r 1  r 1 = q 2 r 2 + r 3, con 0 < r 3 <  r 2  r 2 = q 3 r 3 + r 4, con 0 < r 4 <  r 3  ………………………………………………………………. r n-2 = q n-1 r n-1 + r n, con 0 < r n <  r n-1  r n-1 = q n r n con r n+1 = 0 r n-1 es el último resto no nulo, luego:mcd(r o,r 1 ) = r n-1

EJEMPLO ro = 448 y r1 = 721. Entonces: 721 = = = = = = = = 2.7 Como el último resto no nulo es 7, resulta que mcd(448,721) = 7.

ENTEROS COPRIMOS Dados dos enteros no nulos a y b, diremos que a y b son coprimos ó primos entre sí, si su máximo común divisor es 1. Ejemplos: 2 y 3, al ser primos tienen a 1 y -1 como únicos divisores comunes. Luego, debe ser mcd(2,3) = 1. 9 y 14 no son primos, pero sus únicos divisores comunes son 1 y -1. Luego, mcd(9,14) = 1.

MINIMO COMUN MULTIPLO Sean a y b números enteros. m  N es el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b, si, y sólo sí, se cumple: 1. a  m  b  m 2. a  n  b  n  m  n Ejemplo: 4.5 = 20. Cualquier otro múltiplo natural común de 4 y 5 (40, 60, 80…) será divisible por 20. Luego: mcm(4,5) = 20.

CONGRUENCIA MODULO n Sea n  N. Definimos en Z 2 la relación “congruencia módulo n”, como sigue:  a,b  Z: a  b (mód n)  n  a – b Ejemplos: 73  88 (mód 3) porque 73 – 88 = -15  3   -45 (mód5) pues 120 –(-45) = 165  5  165

PROPIEDADES Sean n  N, a, b, c, d  Z 1. a  a (mód n) 2. a  b (mód n)  b  a (mód n) 3. a  b (mód n)  b  c (mód n)  a  c (mód n) 4. a  b (módn)  d  c (módn)  a +d  b+c (módn) 5. a  b (mód n)   p  Z: p.a  p.b (mód n)

CLASES MODULO n Consideremos la siguiente relación en Z: (a,b)  R  r(a,n) = r(b,n) Por algoritmo de división, existen h, k  Z/ a = k.n + r(a,n) y b = h.n + r(b,n). Luego a – b = k.n + r(a,n) - h.n - r(b,n) = = (k – h).n + [r(a,n) - r(b,n)] = (k – h).n pues si (a,b)  R, r(a,n) = r(b,n). Luego: a  b(módn)

CLASES MODULO n Recíprocamente, si a, b  Z son tales que a  b (módn),  k  Z/ a – b = k.n. Luego; a = kn + b. Por algoritmo de división,  h  Z/ b = h.n + r(b,n), con 0  r(b,n) < n. Luego a = k.n + h.n + r(b,n) = (k – h).n + r(b,n) Por unicidad del cociente y el resto en la división entera, debe ser r(a,n) = r(b,n).

ECUACIONES DE CONGRUENCIAS Dados n natural, a y b enteros, queremos determinar si es posible hallar x  Z / ax  b (mód n) Es decir, que buscamos x  Z / ax – b = k.n, para algún número entero k. De esta manera, planteamos la ecuación diofántica ax – k.n = b. Una ecuación diofántica es una ecuación lineal de dos variables (x y k, en este caso), cuya solución debe ser un par de números enteros.

ECUACIONES DIOFANTICAS Dada la ecuación diofántica ax + by = c, con a, b y c enteros, siendo d = mcd(a,b), entonces: Si d  c, no existe solución. Si d  c existen infinitas soluciones. Sea (x o,y o ) una solución particular, entonces, si k  Z, las infinitas soluciones se obtienen haciendo: x = x o + (b/d).k  y = y o + (a/d).k

EJEMPLOS 9x  11 (mód 6). Entonces: 9x – 11 = 6y, con y  Z. Luego: 9x – 6y = 11; mcd(9,-3) = 3  3  11.  La ecuación no tiene solución 12  18x (mód30). Luego: x = 30y, con y  Z. De donde, 18x + 30y = 12; mcd(18,30) = 6  6  12. Una solución particular es x = -1, y = 1. Luego: x = -1 + n.30/6 = n  y = 1 + n.18/6 = 1 + 3n, con n  Z