Tema 11: Regla del Producto Matemáticas III Secundaria

Supóngase que se arrojan simultáneamente un dado y una moneda, y se quiere calcular la probabilidad de obtener un 5 y un águila. 1 La probabilidad de obtener un 5 es: 6 y la probabilidad de obtener águila en un volado es: 1 2

Entonces la probabilidad de obtener un 5 y águila al lanzar simultáneamente un dado y una moneda es: 1 6 2 12 X = El razonamiento aplicado se conoce como el teorema de multiplicación de probabilidades (Regla del Producto).

Regla del producto Si la probabilidad de que ocurra un evento A es P(A) y la probabilidad de que ocurra un evento B es P(B), entonces la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es: P(A y B) = P(A) x P(B) Siempre y cuando los eventos A y B sean independientes.

¿Qué significa la condición de que los eventos A y B sean independientes? Que la ocurrencia de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Cuando A y B no son independientes: P(A y B) P(A) x P(B)

Otro ejemplo sería: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire, caiga sol y águila? Como son eventos independientes: La probabilidad de que caiga sol es:

Y la probabilidad de que caiga águila es: Entonces la probabilidad de que salga un sol y águila será: P (sol y águila) = 1 x 1 = 1 2 2 4

Ahora bien, si los eventos no son independientes, veamos el siguiente problema: En una bolsa se tienen 12 dulces: 4 de fresa, 3 de menta y 5 de chocolate, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 dulces, el primero sea de fresa y el segundo sea de chocolate? (el primer dulce no se devuelve a la bolsa).

P P 4 (Fresa) = 12 5 (Chocolate) = 11 En la primera extracción, la probabilidad de que sea un dulce de fresa es: P (Fresa) = 4 12 La probabilidad de que en la segunda extracción sea de chocolate es: 11 P (Chocolate) = 5

Observa que en la segunda extracción quedan 11 dulces en lugar de 12 pues se supone que ya se extrajo uno y no se devolvió a la bolsa. Entonces la probabilidad de que el primero sea un dulce de fresa y el segundo de chocolate, será: P (fresa, chocolate) = 4 12 5 11 x = 33 20 132

En otras situaciones más sencillas, podemos efectuar el cálculo de probabilidades utilizando los Diagramas de Árbol. Un Diagrama de Árbol es una serie de líneas que parten de un punto en común llamado Raíz, esas líneas a su vez se ramifican según las opciones que se presenten en cada problema. Estos son dos ejemplos:

Diagramas de Árbol e1 R e2 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 b5 b6

¿De cuántas maneras distintas puede Laura efectuar el viaje? Veamos un ejemplo: Laura se ganó un viaje para dos personas, al entregárselo le presentaron las siguientes opciones: * Lugar: Acapulco o Cancún * Transporte: Autobús o Avión * Acompañante: Papá, mamá o hermano ¿De cuántas maneras distintas puede Laura efectuar el viaje? Representemos con un diagrama de árbol

Diagrama de Árbol Acapulco Cancún Autobús Avión Autobús Avión Papá Mamá Acapulco Hermano Papá Avión Mamá Hermano Papá Autobús Mamá Cancún Hermano Papá Avión Mamá Hermano

Contamos ahora, todas las opciones de la última columna solamente y tendremos el total de formas posibles en las que Laura puede efectuar su viaje. Esto corresponde a: Por lo tanto, Laura puede viajar de 12 maneras diferentes.

Sugerencias y Comentarios Elaboró: Profra. Sandra Luz García Garza Diseño: L.C.A. Esther E. González Glz.