Introducción a una Teoría de Categorías

Presentación del tema: "Introducción a una Teoría de Categorías"— Transcripción de la presentación:

1 Introducción a una Teoría de Categorías
Modelo ECO2 Proceso de Certificación de Especialistas Introducción a una Teoría de Categorías Santiago, Chile 22-25 de Enero de 2007 Juan Machín

2 Programa Presentación del objetivo Conjunto Aplicación Analogía

3 Objetivo de esta lección frontal
Presentar una introducción a la Teoría de Categorías para hacer explícitos algunos elementos epistemológicos de nuestro trabajo (prevención, cura, formación, etc.) y comenzar a formalizar nuestra experiencia.

4 Teoría de Conjuntos Definición
“Conjunto” es tan fundamental que es imposible dar una definición en función de conceptos más básicos. La etimología (coniungere = unir, juntar) nos da una idea de lo que significa. poseemos una noción intuitiva y podemos dar un sinfín de ejemplos.

5 Conjuntos Un conjunto se define de dos formas:
Enlistando todos sus elementos Definiendo una propiedad que los caracteriza Ejemplo. Sea V el conjunto de las vocales: V={a,e,i,o,u} V={x| x es una vocal} (se lee: “V es el conjunto que contiene a todas las x tales que x es una vocal”).

6 Ejemplos Los siguientes son ejemplos de conjuntos: - Un sistema
Una red social Una Comunidad Real Local (CRL) Una Comunidad Terapéutica Específica (CTE) Nuestro equipo de trabajo Este grupo

7 Convenciones Vamos a representar a:
los Conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C, … los Elementos con letras minúsculas: a, b, c, …

8 Convenciones “Pertenece a” o “es elemento de” con 
“No pertenece a” con  “Para todo” con  “Existe” con  Conjunto universo con la letra U Conjunto vacío con Ø

9 Diagramas de Venn A Ø a b a  A b  A

10 Aplicación Dados los conjuntos A y B, una aplicación : A  B es una ley, regla o criterio que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de A uno y sólo un elemento de B También se representa como: (A) = B Sinónimos de aplicación son función, mapeo, transformación, operador.

11 Ejemplo 1 A B a1 a2 a3 b1 b2 b3 ... bm

12 Ejemplo 2 A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4

13 Ejemplo 3 A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4

14 Ejemplo 4 A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4

15 Ejemplos de aplicaciones
- Contar - Medir Medidas estadísticas Instrumentos Diagnósticos

16 Aplicación inyectiva o Inyección
Dados los conjuntos A y B, una aplicación inyectiva de A en B es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento diferente de B. A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 b5

17 Aplicación sobreyectiva o Sobreyección
Dados los conjuntos A y B, una aplicación sobreyectiva de A en B es una aplicación que pone en correspondencia todos los elementos de B. A B a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3

18 Aplicación biyectiva o Biyección
Dados los conjuntos A y B, una aplicación biyectiva de A en B es una aplicación que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo A B a1 a2 a3 ... an b1 b2 b3 ... bn

19 Ejemplos Persona Nombre Dirección Número de Teléfono Teléfono
Línea telefónica Recibo CURP

20 Aplicación compuesta : A  C
Sean : A  B y : B  C dos aplicaciones tales que el codominio de la primera coincide con el dominio de la segunda. Queda así definida una aplicación de A en C, que se denomina aplicación compuesta de  con , e indicada como : A  C O como : A  C

21 Dados los conjuntos A y B y la aplicación
Aplicación inversa Dados los conjuntos A y B y la aplicación : A  B, la aplicación inversa -1: B  A es la aplicación que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de B uno y sólo un elemento de A, tal que si b es elemento de B que  pone en correspondencia al elemento a de A, entonces -1 pone en correspondencia al elemento a de A con el elemento b de B. También se representa como: -1 (B)= A Sinónimos de aplicación inversa son antitransformación, operador inverso, etc.

22 Analogía Una aplicación : A  B se dice que es una analogía si al aplicar  a A se conservan propiedades de A en B. La analogía más estricta se denomina Identidad y es la aplicación de un conjunto sobre sí mismo. I: A  A.

23 S es una analogía denominada semejanza
Ejemplo 1 S: AB  A’B’ S: BC  B’C’ S: AC  A’C’ Triángulos semejantes S:   ’ A A’ S: b  b’ S: g  g’  ’ AB  A’B’ ’ BC  B’C’ ’ B’ C’ AC  A’C’  = ’   b = b’ B C g = g’ S es una analogía denominada semejanza AB/BC = A’B’/B’C’